9. Дискретні випадкові величини. Їх характеристики.
Нехай (Ω, ζ, Р) — ймовірнісний простір. Дискретною
випадковою величиною називається функція ξ(w) на Ω, яка набуває скінченне або зліченне число значень x1, x2..., xn, ... і є вимірною.
Розподіл дискретної випадкової величини. Нехай ξ(w) — дискретна випадкова величина, яка набуває значення x1, ..., x i,....
Набір чисел P{w: ξ (w)=xi}=pi (i=1, 2,....) називають розподілом випадкової величини ξ. pi≥0,
=
1.
Часто розподіл випадкової величини подають у вигляді таблиці, в якій
перераховуються значення випадкової величини разом з відповідними ймовірностями:
Значення |
x1 |
… |
xi |
… |
Ймовірність |
p1 |
… |
pi |
… |
Функція розподілу випадкової величини ξ(w) визначається рівністю:
P{w:
ξ(w)<x}=
Сумісний розподіл випадкових величин. Нехай ξ(w) — дискретна величина, що набуває значень x1, x2, …, xi, …, η(w) — дискретна величина, що набуває значень y1, y2, …, yj, ….
Набір чисел P{w : ξ(w) = xi, η (w) = yj }=pij, (i =1,2…;j = 1,2…) називається сумісним розподілом випадкових величин ξ та η. Справджуються такі твердження:
а)
pij≥0
,
=
1
б)
=
pi,
=qj
, де
{рi}
— розподіл
ξ(w),
{qj}
— розподіл
η(w).
Незалежні випадкові величини. Випадкові величини ξ та η називаються незалежними, якщо для будь-яких i та j
P{ ξ(w) = xi , η(w) = yj } = P{ξ(w) = xi } P{η(w) = yj }.
11. Дисперсія випадкових величин. Властивості.
Дисперсією
випадкової величини
називається
математичне сподівання квадрата
відхилення цієї величини. Дисперсія
характеризує розсіювання випадкової
величини відносно свого математичного
сподівання.
або
Доведення:
Для
дискретної випадкової величини
дисперсія:
Для
неперервної:
Якщо
[а;
b],
то
Властивості дисперсії
1.
2. Якщо С — стала величина, то
.
3.
Якщо
і
- незалежні випадкові величини, то
12. Коефіцієнт кореляції випадкових величин
Коефіцієнт кореляції – міра залежності випадкових величин.
1.
і
- незалежні, ρ=0.
2.
| ρ |≤1.
Доведення:
=
- стандартизована випадкова величина
,
.
,
.
або
.
3.
|
|=1
=1, a>0; =-1, a<0
a)
б)
,
,
,
|
|
1
– тим сильніша залежність
>1
– позитивний звязок (залежність)
<0
-
Зауваження: з того, що ρ=0 не впливає незалежність випадкових величин.)
13.Біноміальний, геометричний та Пуассонівський розподіли. Їх характеристика.
1) Біноміальний розподіл. (Схема Бернулі)
n- нехалежних розподілів
2 результати: - успіх(У) p
-невдача(Н) q
q=1-p p+q=1
- загальна к-сть усіх успіхів; є{0,1,2,…,n}
k- У; (n-k) – Н;
;
;
2) Геометричний розподіл.
У – к-сть експериментів, що проводяться до першого успіху
Н – к-сть невдач
3) Пуассонівський розподіл.
14. Схема Бернулі. Локальна теорема Муавра-Лапласа
1)Схема Бернулі(Біноміальний розподіл)
n – кількість незалежних випробувань
У – успіх. p 0≤p≤1
Н – невдача. q=1-p p+q=1
ξ – загальна кількість успіхів в n-експериментах
ξ є{0,1,2…n}
математичне сподівання
Дисперсія
Формули:
2) Локальна теорема Муавра-Лапласа
Доведення
Ф-ла
Стірлінга:
x≤C<+∞
1.
2.
15. Загальне означення випадкової величини
Нехай
— ймовірнісний простір. Випадковою
величиною називається
функція
(w)
на
,
яка вимірна відносно
-алгебри
,
тобто така функція, коли при кожному
дійсному x
{w
:
(w)
< x}
.
Функцією розподілу випадкової величини (w) називається функція
F(x ) = P{w : (w) < x}.
Функція
розподілу F(х)
має властивості: а) неперервна зліва;
б) неcпадна на
;
в) F(
)
=0, F
(
)
= 1.
Для кожної функції F (x), що має ці властивості, можна побудувати ймовірнісний простір
і випадкову величину (w) на ньому, яка має функцією розподілу F(х).
Якщо F (х) — функція розподілу випадкової величини , то
P{a<=x<b}=F(b)–F(a), (a < b).