2.11. Системы массового обслуживния с не пуассоновскими потоками событий

В се рассмотренные до сих пор задачи теории массово­го обслуживания относились только к случаю, когда процесс, протекающий в СМО, представляет собой непрерывную мар­ковскую цепь (марковский процесс с дискретными состояния­ми и непрерывным временем), другими словами, когда все по­токи событий, переводящие систему из состояния в состояние (потоки заявок, обслуживании, уходов и т.д.) являются пуассоновскими. Для получения предельных характеристик системы в установившемся стационарном режиме требовалось, чтобы эти потоки были не только пуассоновскими, но и простейшими (с постоянными интенсивностями).

На практике очень часто оказывается, что потоки со­бытий, действующие в системе массового обслуживания, за­метно отличаются от простейших. Особенно это относится к потоку обслуживании. Действительно, в простейшем потоке интервал времени между двумя соседними событиями распре­делен по показательному закону

(см. рис.29). Очевидно, что время Т_об обслуживания отличен от показательного, и его наивероятнейшее значение не равно нулю (см.рис.30).

В случае, когда закон распределения времени обслу­живания отличен от показательного, все ранее рассмотренные методы описания процессов, протекающих в СМО, становятся, строго говоря, непригодными. В частности, нельзя записать ни линейных дифференциальных уравнений для вероятностей состояний, ни линейных алгебраических уравнений для пре­дельных вероятностей. Математический аппарат исследования становится гораздо более сложным; аналитические формулы для характеристик СМО удается получить только для самых простых случаев. В таких случаях для исследования процесса, протекающего в СМО, можно воспользоваться универсальным методом моделирования случайных процессов - так называе­мым методом имитационного моделирования (статистиче­ских испытаний или Монте - Карло).

3. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

3.1. МЕТОД ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Под имитацией будем понимать численный метод про­ведения на ЭВМ экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение продол­жительных периодов времени.

Известно, что математическая модель любой системы может быть записана в виде

где - вектор состоянии, - начальное значение вектора состояний, - вектор входных воздействий, -вектор структурных параметров системы, t - текущий момент време­ни.

Очень часто аналитический вид функции φ неизвес­тен. Однако значения вектора можно подсчитать по некото­рому алгоритму, давая входным переменным и параметрам определенные значения. Кроме того, если вектор подается со случайной ошибкой ε, то можно имитировать и эту ошиб­ку. В итоге будут получены некоторые значения вектора , определяющие фазовую траекторию поведения системы дис­кретным рядом точек.

Имитация является результатом реализации на ЭВМ имитационного алгоритма - математической модели исследуемого процесса. Такой алгоритм обычно представляют графи­чески блок-схемой, каждый блок которой соответствует неко­торому оператору. Каждый оператор должен иметь наглядный физический смысл и легко представляться совокупностью эле­ментарных математических операций.

Все операторы имитационной модели можно условно разделить на две группы: 1) арифметические операторы, произ­водящие различные вычислительные операции; 2) логические операторы, обеспечивающие логику работы всего моделирую­щего алгоритма в целом. Арифметические операторы в схемах обозначаются прямоугольником, а логические - кружком или ромбиком. Передача управления обозначается стрелками. Все арифметические операторы имеют безусловную передачу управления на один и только на один блок. Логические опера­торы предназначены для проверки заданного условия и выра­ботки признаков, обозначающих результаты проверки. Если условия выполняются, то вырабатывается признак ω = 1, если нет, то ω = 0 . В зависимости от значения признака ω осуще­ствляется передача управления.

3.2. ФИКСАЦИЯ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИМИТАЦИОННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Имитация - это эксперимент, который осуществляется при максимальном приближении к реальности с учетом влия­ния различных случайных воздействий. В силу этого выходные значения модели тоже носят случайный характер, На практике, исследуя случайные явления, эксперимент проводят несколько раз, а затем производят статистическую обработку его резуль­татов. Аналогичная ситуация имеет место и при имитации на ЭВМ. Ее повторяют многократно, получая всякий раз одну из возможных реализаций процесса. Количество реализаций, ко­торые необходимо произвести, рассчитывается по специаль­ным правилам.

Для получения оценок интересующих нас величин применяются различные формулы математической статистики.

При этом, например, вероятность события Р оценива­ется относительной частотой поступления его в N реализациях:

, где m - число наступления события.

Таким же методом строятся плотность распределения случайных величин. При этом область определения случайной величины разбивается на п интервалов одинаковой длины. Для каждого интервала отводится ячейка памяти, где накапли­ваются значения m_i (i = 1, п) - количество попаданий слу­чайной величины в i-й интервал. Тогда относительная часто­та попадания в i -й интервал определится следующим образом:

По значениям P_ш строится гистограмма, являющаяся аналогом плотности вероятности.

Для оценки среднего значения случайной величины X используется выборочное среднее

где x_i - реализация случайной величины X .

В качестве оценки дисперсии используется выбороч­ная дисперсия

Аналогично при определении оценки корреляционного момента к_xy двух случайных величин X и У следует вос­пользоваться формулой