2.10. Замкнутые системы массового обслуживания

До сих пор мы рассматривали такие СМО, где заявки приходили откуда-то извне и интенсивность потока заявок не зависела от состояния самой системы. Здесь рассмотрим СМО другого типа - такие, в которых интенсивность потока посту­пающих заявок зависит от состояния самой СМО. Такие систе­мы массового обслуживания называются замкнутыми.

В качестве примера замкнутой СМО рассмотрим сле­дующую систему. Рабочий - наладчик обслуживает п станков. Каждый станок может в любой момент выйти из сторон и по­требовать обслуживания со стороны наладчика. Интенсивность потока неисправностей каждого станка равна λ . Вышедший из строя станок останавливается. Если в этот момент рабочий свободен, он берется за наладку станка; на это он тратит сред­нее время

где µ -интенсивность потока обслуживании (наладок).

Если в момент выхода станка из строя рабочий занят, станок становится в очередь на обслуживание и ждет, пока ра­бочий не освободится.

Требуется найти вероятности состояний данной систе­мы и ее характеристики:

• вероятность того, что рабочий не будет занят;

• вероятность наличия очереди;

• среднее число станков, ожидающих очереди на ре­монт и т.д.

Перед нами - своеобразная СМО, где источником зая­вок являются станки, имеющиеся в ограниченном количестве и подающие или не подающие заявки в зависимости от своего состояния: при выходе станка из строя он перестает быть источником новых заявок. Следовательно, интенсивность об­щего потока заявок, с которым приходится иметь дело рабоче­му, зависит от того, сколько имеется неисправных станков, т.е.

сколько заявок связано с процессом обслуживания (непосред­ственно обслуживается или стоит в очереди).

Характерным для замкнутой СМО является наличие ограниченного числа источников заявок.

В сущности, любая СМО имеет дело только с ограни­ченным числом источников заявок, но в ряде случаев число этих источников так велико, что можно пренебречь влиянием состояния самой СМО на поток заявок. Например, поток вызо­вов на АТС крупного города исходит, в сущности, от ограни­ченного числа абонентов, но это число так велико, что практи­чески можно считать интенсивность потока заявок независи­мой от состояний самой АТС (сколько каналов занято в данный момент). В замкнутой же СМО источники заявок, наряду с ка­налами обслуживания, рассматриваются как элементы СМО.

Рассмотрим сформулированную выше задачу о рабо­чем - наладчике в рамках обшей схемы марковских процессов.

Система, включающая рабочего и п станков , имеет ряд состояний, которые будем нумеровать по числу неисправ­ных станков (станков, связанных с обслуживанием):

S₀ - все станки исправны (рабочий свободен),

S₁ - один станок неисправен, рабочий занят его наладкой,

S₂ - два станка неисправны, один налаживается, другой ожидает в очереди,

.......................................................................................................

S_n - n станков неисправны, один налаживается, п-1 стоят в очереди.

Граф состояний приведен на рис.28.

Интенсивности потоков событий, переводящих систе­му из состояния в состояние, проставлены у стрелок. Из со­стояния S₀ в S₁ систему переводит поток неисправностей всех работающих станков: его интенсивность равна пλ. Из состояния S₁ в S₂ систему переводит поток неисправностей уже не п, а п-1 станков (работают всего п-1) и т.д. Что касается интенсивностей потоков событий переводящих систему по стрелкам справа налево, то они все одинаковы, работает все время один рабочий с интенсивностью обслуживания µ.

П ользуясь, как обычно, общим решением задачи о предельных вероятностях состояний для схемы гибели и раз­множения, напишем предельные вероятности состояний:

Вводя, как и раньше, обозначения перепишем эти формулы в виде:

(2.57)

Итак, вероятности состояний СМО найдены. В силу своеобразия замкнутой СМО, характеристики ее эффективно­сти будут отличны от тех, которые мы приняли ранее для СМО с неограниченным количеством источников заявок.

Роль "абсолютной пропускной способности" в данном случае будет играть среднее количество неисправностей, устраняемых рабочим в единицу времени. Вычислим эту ха­рактеристику. Рабочий занят наладкой станка с вероятностью

P_зан=1-P₀ (2.58)

Если он занят, он обслуживает µ станков (ликвидиру­ет µ неисправностей) в единицу времени; значит, абсолютная пропускная способность системы

A=(1-P₀)µ (2.59)

В замкнутой СМО каждая заявка, в конце концов, бу­дет обслужена. Поэтому для замкнутой СМО относительная пропускная способность q = 1.

Вероятность того, что рабочий не будет занят:

Р_своб = 1 - Р_зан = Р₀

Вычислим среднее число неисправных станков, иначе - среднее число станков, связанных с процессом обслужива­ния. Обозначим это среднее число . Вообще говоря, величи­ну можно вычислить непосредственно, по формуле

но проще будет найти ее через абсолютную пропускную спо­собность А . Действительно, каждый работающий станок по­рождает поток неисправностей с интенсивностью λ ; в рас­сматриваемой СМО в среднем работает станков; поро­ждаемый ими средний поток неисправностей будет иметь среднюю интенсивность ; все эти неисправности устраняются рабочим, следовательно,

откуда

(2.60)

Определим теперь среднее число станков r , ожидаю­щих наладки в очереди. Будем рассуждать следующим обра­зом: общее число станков W , связанных с обслуживанием, складывается из числа станков R , стоящих в очереди, плюс число станков Q, непосредственно находящихся под обслу­живанием:

W=R+Ω.

Число станков Ω, находящихся под обслуживанием, равно единице, если рабочий занят, и нулю, если он свободен, т.е. среднее значение случайной величины Ω равно веро­ятности того, что рабочий занят:

(2.61)

Вычитая эту величину из среднего числа станков, связанных с обслуживанием (неисправных), получим среднее число станков, ожидающих обслуживания в очереди:

(2.62)

Остановимся еще на одной характеристике эффектив­ности СМО: на производительности группы станков, обслу­живаемых рабочим.

Зная среднее число неисправных станков w и произ­водительность l исправного станка за единицу времени, мож­но оценить среднюю потерю L производительности группы станков в единицу времени за счет неисправностей:

Пример 1. Рабочий обслуживает группу из трех стан­ков. Каждый станок останавливается в среднем 2 раза в час. Процесс наладки занимает у рабочего в среднем 10 минут. Оп­ределить характеристики замкнутой СМО: вероятность занято­сти рабочего; его абсолютную пропускную способность А; среднее количество неисправных станков; среднюю относи­тельную потерю производительности группы станков за счет неисправностей.

Пример 2. Рассмотреть общий пример замкнутой

СМО: бригада из т рабочих обслуживает п станков (т <n) , Интенсивность потока неисправностей каждого станка равна λ . Вышедший из строя станок останавливается. Если в этот момент хотя бы один рабочий свободен, то он берется за на­ладку станка; на это он тратит среднее время

где µ - интенсивность потока обслуживания (наладок) одним рабочим.

Найти: предельные вероятности состояний, среднее число занятых рабочих, среднее число станков, обслуживаемых бригадой в единицу времени (абсолютная пропускная способ­ность), среднее число неисправных станков.

Замечание. Возможные состояния системы обозначить следующим образом:

S₀ - все станки работают, рабочие не заняты,

S₁ - один станок остановился, один рабочий занят,

...................................................................................

S_m - m станков остановились, все рабочие заняты,

S_m+l - (m +1) станок остановился, m из них налажи­ваются, один ждет очереди,

.................................................................................

S_n - все n станков остановились, m из них налаживаются, п - т ждут очереди.

Пример 3. Два рабочих обслуживают группу из шести станков. Остановки каждого (работающего) станка случаются, в среднем, через каждые полчаса. Процесс наладки занимает у рабочего в среднем 10 мин. Определить характеристики замк­нутой СМО:

- среднее число занятых рабочих,

- абсолютную пропускную способность,

- среднее количество неисправных станков.