2.2. Классификация систем массового обслуживания и их основные характеристики

Системы массового обслуживания вообще могут быть двух типов.

I.Система с отказами. В таких системах заявка, по­ступившая в момент, когда все каналы заняты , получает " от­каз" , покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.

2. Система с ожиданием (с очередью). В таких систе­мах заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из каналов. Как только освободится канал, принимается к обслу­живанию одна из заявок, стоящих в очереди.

Обслуживание в системе с ожиданием может быть " упорядоченным " (заявки обслуживаются в порядке поступ­ления) и " неупорядоченным " (заявки обслуживаются в слу­чайном порядке). Кроме того, в некоторых СМО применяется так называемое " обслуживание с приоритетом", когда некоторые заявки обслуживаются в первую очередь, предпоч­тительно перед другими.

Системы с очередью делятся на системы с неограни­ченным ожиданием и системы с ограниченным ожиданием.

В системах с неограниченным ожиданием каждая заяв­ка, поступившая в момент, когда нет свободных каналов, ста­новится в очередь и "терпеливо" ждет освобождения канала, который примет ее к обслуживанию. Любая заявка, поступив­шая в СМО, рано или поздно будет обслужена.

В системах с ограниченным ожиданием на пребывание заявки в очереди накладываются те или другие ограничения. Эти ограничения могут касаться длины очереди (число заявок, одновременно находящихся в очереди), времени пребывания заявки в очереди (после какого-то срока пребывания в очереди заявка покидает очередь и уходит), общего времени пребыва­ния заявки в СМО и т.д.

В зависимости от типа СМО, при оценки ее эффектив­ности могут применяться те или другие величины (показатели эффективности). Например, для СМО с отказами одной из важнейших характеристик ее продуктивности является так называемая абсолютная пропускная способность - среднее число заявок которой может обслужить система за единицу времени.

Наряду с абсолютной, часто рассматривается относи­тельная пропускная способность СМО - средняя доля по­ступивших заявок, обслуживаемых системой (отношение сред­него числа заявок, обслуживаемых системой в единицу време­ни, к среднему числу поступающих за это время заявок).

Помимо абсолютной и относительной пропускной спо­собностей, при анализе СМО с отказами нас могут, в зависимо­сти от задачи исследования, интересовать и другие характери­стики, например:

- среднее число занятых каналов,

- среднее относительное время простоя системы в целом и отдельного канала и т.д.

Перейдем к рассмотрению характеристик СМО с ожиданием.

Очевидно, для СМО с неограниченным ожиданием как абсолютная, так и относительная пропускная способность те­ряют смысл, так как каждая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. Зато для такой СМО весьма важными характеристиками являются:

среднее число заявок в очереди,

- среднее число заявок в системе (в очереди и под обслуживанием),

среднее время ожидания заявки в очереди,

- среднее время пребывания заявки в системе (в очереди и под обслуживанием) и другие характеристики ожи­дания.

Для СМО с ограниченным ожиданием интерес пред­ставляют обе группы характеристик: как абсолютная и отно­сительная пропускная способности, так и характеристики ожи­дания.

Для анализа процесса, протекающего в СМО, сущест­венно знать основные параметры системы: число каналов п , интенсивность потока заявок λ, производительность каждого канала (среднее число заявок µ, обслуживаемое каналом в единицу времени), условия образования очереди (ограничения, если они есть),

В зависимости от этих параметров необходимо в даль­нейшем выражать характеристики эффективности работы СМО.

Заранее условимся (чтобы не оговаривать это всякий раз отдельно), что будем считать все потоки событий, пере­водящих СМО из состояния в состояние, пуассоновскими. В редких случаях, когда мы будем рассматривать не марковские системы массового обслуживания, мы будем каждый раз ого­варивать это специально.

Напомним, что в случае, когда пуассоновский поток стационарен (простейший поток), интервал времени Т между событиями в этом потоке есть случайная величина, распреде­ленная по показательному закону:

(t >0), (2.1)

где λ - интенсивность потока событий.

В случае, когда из какого-то состояния S_i систему вы­водят сразу несколько простейших потоков, величина Т - вре­мя пребывания системы (подряд) в данном состоянии есть слу­чайная величина, распределенная по закону (2.1), где λ-суммарная интенсивность всех потоков событий, выводящих систему из данного состояния.

2.3 ОДНОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОТКАЗАМИ

Рассмотрим простейшую из всех задач теории массо­вого обслуживания - задачу о функционировании одноканальной СМО с отказами.

Пусть система массового обслуживания состоит только из одного канала (п = 1) и на нее поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ , зависящей, в общем случае, от времени:

λ=λ(t) (2.2)

Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и по­кидает систему.

Обслуживание заявки продолжается в течение случай­ного времени Т_об, распределенного по показательному закону с параметром µ ;

(t >0) (2.3)

Из этого следует, что "поток обслуживаний" - про­стейший, с интенсивностью µ. Чтобы представить себе реаль­но этот поток, вообразим один непрерывно занятый канал - он будет выдавать обслуженные заявки потоком с интенсивно­стью µ.

Требуется найти:

1. абсолютную пропускную способность СМО (А),

2. относительную пропускную способность СМО(q).

Рассмотрим единственный канал обслуживания как физическую систему S , которая может находиться в одном из двух состояний:

S₀- свободен,

S₁ - занят.

Граф состояний системы показан на рис.20

Рис.20

Из состояния S₀ в S₁ систему, очевидно, переводит поток заявок с интенсивностью λ ; из S₁ в S₀ - " поток об­служивании " с интенсивностью µ.

Обозначим вероятности состояний P₀(t) и P₁(t). Очевидно, для любого момента t

P₀(t)+P₁(t)=1 (2.4)

Составим дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний согласно правилу, данному в 1.2 гл. 1. Имеем

(2.5)

Из двух уравнений (2.5) одно является лишним, так как Р₀ и P₁ связаны соотношением (2.4). Учитывая это, отбросим второе уравнение, а в первое поставим вместо Р₁ его выражение(1-Р₀):

(2.6)

Это уравнение естественно решать при начальных условиях:

P₀(0)=1,P₁(0)=0

(в начальный момент канал свободен).

Линейное дифференциальное уравнение (2.6) с одной неизвестной функцией Р₀ легко может быть решено не только для простейшего потока заявок (λ = const), но и для случая, когда интенсивность этого потока со временем меняется (λ = λ(t)). He останавливаясь на последнем случае, приведем решение уравнения (2.6) только для случая λ = const:

(2.7)

Зависимость величины Р_о от времени имеет вид, изо­браженный на рис.21.

В начальный момент (при t=0) канал заведомо свобо­ден (Р₀(0) = 1). С увеличением t вероятность P₀ уменьша­ется и в пределе (при ) равна . Величина Р₁ (t), дополняющая P₀ (t) до единицы, изменяется, как показано на том же рис.21.

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность Р₀ есть не что иное, как относитель­ная пропускная способность q.

Действительно, Р₀ есть вероятность того, что в мо­мент t канал свободен, иначе вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет обслужена. А значит, для данно­го момента времени / среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равна Р₀ :q = р₀ .

В пределе, при , когда процесс обслуживания уже установится, предельное значение относительной пропу­скной способности будет равно:

(2.8)

Зная относительную пропускную способность q , лег­ко найти абсолютную А. Они связаны очевидным соотношени­ем:

A=λq

В пределе, при абсолютная пропускная спо­собность тоже установится и будет равна

(2.9)

Зная относительную пропускную способность системы q (вероятность того, что пришедшая в момент t заявка будет обслужена), легко найти вероятность отказа:

P_отк=1-q

Вероятность отказа Р_отк есть не что иное, как средняя доля не обслуженных заявок среди поданых. В пределе, при , имеем

(2.10)

Пример. Одноканальная СМО с отказами представля­ет собой одну телефонную линию. Заявка - вызов, пришедший момент, когда линия занята, получает отказ. Интенсивность потока вызовов λ = 0,8 (вызовов в минуту). Средняя продол­жительность разговора t_дб = 1,5мин. Все потоки событий - простейшие. Определить предельные (при ) значения:

1. относительной пропускной способности q;

2. абсолютной пропускной способности;

3. вероятности отказа Р.

Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если каждый разговор длился в точности 1,5 мин. и разговоры следовали бы один за другим без перерыва.

Решение. Определяем параметр µ потока обслужива­ний:

По формуле (2.8) получаем относительную пропуск­ную способность СМО:

По формуле (2.9) находим абсолютную пропускную способность:

т.е. линия способна осуществить в среднем 0,364 разговора в минуту.

Вероятность отказа:

P=1-q=0, 545

з начит около 55% поступивших вызовов будет получать отказ. Номинальная пропускная способность канала:

(разговора в минуту)

что почти вдвое больше, чем фактическая пропускная способ­ность, получаемая с учетом случайного характера потока зая­вок и случайности времени обслуживания.