12 Распределение Стьюдента. Малая выборка

В метрологической практике часто рассматриваются выборки небольшого объема (меньше 20-30 элементов). Они характеризуют генеральную совокупность в том случае, если известно, что рассматриваемый признак в ней распределен по нормальному закону.

При образовании малой выборки выборочная средняя определяется:

, (15)

а выборочная дисперсия равна:

. (16)

Среднее квадратическое отклонение значения признака в малой выборке и соответственно в генеральной совокупности равно арифметическому значению квадратного корня от величины дисперсии.

Среднее квадратическое отклонение среднего значения в малой выборке определяется равенством:

. (17)

Отклонение выборочной средней от генеральной средней величины рассматриваемого признака является случайной величиной, определяемой коэффициентом Стьюдента

. (18)

где - математическое ожидание.

Величина t_q зависит от объема выборки и уровня значимости.

13 Обработка результатов измерений

Итогом статистической обработки полученных при многократных измерениях значений какой-либо величины является ее численный результат, записанный в общепринятых единицах с известной погрешностью.

Для количественной оценки погрешностей результата измерения используются: предельная погрешность, интервальная оценка и числовые характеристики закона распределения.

Предельная погрешность - погрешность, больше которой в данном измерительном эксперименте не может появиться. На практике такая оценка есть указание наибольшей погрешности, которая может встретиться при многократных измерениях одной и той же величины.

Предельная погрешность не содержит информации о характере закона распределения случайных погрешностей. При арифметическом суммировании предельных погрешностей получаемая сумма может значительно превышать действительные погрешности.

Более универсальными и информативными являются квантильные оценки. Если значения измеряемой величины распределены по нормальному закону, то соответствующие им случайные погрешности также распределены по нормальному закону. При этом площадь, заключенная под всей кривой плотности распределения погрешностей у(х), отражает вероятность всех возможных значений погрешности х и по условиям нормирования равна единице. Эта площадь разделяется вертикальными линиями на части. Абсциссы таких линий называются квантилями. На рисунке 8 х₁ это 25%-ная квантиль, так как площадь под кривой плотности распределения слева от нее составляет 25% всей площади. Абсцисса х₂ соответствует 75%-ной квантили. Между х₁ и х₂ заключено 50% всех возможных значений погрешности, а остальные лежат вне этого интервала.

Рисунок 8 – Квантильные оценки случайной величины.

По известным значениям выборочных характеристик можно установить интервал, в котором с той или иной вероятностью находится величина истинного значения измеряемого параметра. Вероятности, признанные достаточными для уверенных суждений о генеральных параметрах на основании вы­борочных показателей, называются доверительными. Обычно в ка­честве доверительных используют следующие вероятности: Р = 0,95; Р = 0,99 и Р = 0,999. Это значит, что при оценивании генеральных параметров по выборочным характеристикам мы рискуем ошибиться в первом случае один раз на 20 испытаний, во втором случае—один раз на 100 испытаний и в третьем случае—один раз на 1000 испытаний.

Выбор того или иного уровня вероятности осуществляется исходя из практических соображений и той ответственности, с какой делаются выводы о генеральных параметрах по результа­там выборочных наблюдений.

Квантильная оценка погрешности представляется интервалом от ‑х до +х, на котором с заданной вероятностью р встречаются 100% всех возможных значений случайной погрешности. Интервал с границами ± х называется доверительным интервалом случайной погрешности, а соответствующая ему вероятность - доверительной вероятностью. Границы доверительного интервала указываются симметричными относительно результата измерения.

Как уже отмечалось выше, измеряемая величина, распределенная по нормальному закону, имеет случайную погрешность не превышающую интервал ± с доверительной вероятностью 68%. Такая оценка не дает уверенности в высоком качестве измерений, поскольку 32% от всего числа наблюдений может выйти за пределы указанного интервала. Доверительному интервалу ±3 соответствует р = 0,997. Это означает, что с вероятностью очень близкой к единице ни одно из возможных значений измеряемой величины не выйдет за границы интервала.

В целях единообразия оценивания случайных погрешностей интервальными оценками при технических измерениях доверительная вероятность принимается равной 0,95.

Недостатком оценивания случайной погрешности доверительными интервалами при произвольно выбираемых доверительных вероятностях является невозможность суммирования нескольких погрешностей. Так доверительный интервал суммы не равен сумме доверительных интервалов.

В теории вероятностей показано, что суммирование статистически независимых случайных величин осуществляется путем суммирования их дисперсией

, (19)

или

. (20)

Для того чтобы отдельные составляющие случайной погрешности можно было суммировать расчетным путем, они должны быть представлены своими СКО, а не предельными или доверительными границами.

Обработка результатов измерений х_i учитывает следующие факторы:

- обрабатывается ограниченная группа из п величин (выборка);

- при измерениях могут встречаться грубые погрешности (промахи);

- исходные результаты х_i содержат систематическую и случайную составляющие погрешности;

- распределение случайных погрешностей может отличаться от нормального.

Обработка результатов группы наблюдений производится в следующей последовательности:

1. Исключение известной систематической погрешности из результатов измерений путем введения корректирующей поправки.

2. Вычисление среднего арифметического исправленных результатов, принимаемого за результат измерения:

. (21)

3. Вычисление среднего квадратического отклонения  результата наблюдения:

. (22)

Среднее квадратическое отклонение характеризует степень рассеяния результатов измерений вокруг среднего арифметического.

4. Вычисление среднего квадратического отклонения среднего арифмитического.

Если случайные погрешности результатов отдельных измерений подчиняются нормальному закону распределения, то и погрешности средних значений их повторных рядов подчиняются тому же закону, но уже с другим рассеянием. Рассеяние средних значений меньше, чем рассеяние результатов отдельных измерений.

среднее квадратическое отклонение среднего арифмитического определяется:

. (23)

5. Проверка гипотезы о том, что результаты измерений распределены по нормальному закону.

Приближенно о характере распределения можно судить путем построения гистограммы. Точно гипотеза проверяется вычислением критериев согласия (Пирсона, Колмогорова-Смирнова, Ястремского).

6. Вычисление доверительных границ случайной погрешности результата измерения при заданной доверительной вероятности р:

. (24)

Значение коэффициента Стьюдента t_q в зависимости от выбранной доверительной вероятности р и величины п приводится в приложении 1.

7. Вычисление границы суммарной неисключенной систематической погрешности результата измерений. Она образуется из неисключенных систематических погрешностей метода, средств измерений, погрешностей поправок.

Границы неисключенной систематической погрешности результата измерения  определяются по формуле:

, (25)

где _i — граница i-ой неисключенной составляющей систематической погрешности; k — коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при р = 0,95 k = 1,1); т — количество неисключенных составляющих.

Доверительную вероятность для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают той же, что при вычислении границ случайной погрешности результата измерения .

8. Вычисление доверительных границ погрешности результата измерения .

Анализ соотношения между неисключенной систематической погрешностыо и случайной погрешностью показывает, что если  / < 0,8, то неисключенной систематической погрешностью пренебрегают и принимают границы погрешности результата  равным . Если  / > 0,8, то случайной погрешностью пренебрегают, а за границы погрешности результата  принимаются равными ±.

Если оба неравенства не выполняются, вычисляется суммарное среднее квадратическое отклонение результата как сумма неисключенной систематической погрешности и случайной составляющей:

. (26)

Границы погрешности результата измерения в этом случае вычисляются по формуле:

. (27)

Коэффициент К зависит от соотношения случайной и систематической погрешностей и определяется по эмпирической формуле:

. (28)

При числе измерений и доверительной вероятности с погрешностью не превышает 10% коэффициент и формула сложения погрешностей может быть записана в виде:

при . (29)

Стандартом регламентирована и форма записи результатов измерений в виде

. (30)