2. Определение геометрических характеристик сечения

1. Обоснование метода решения

При определении положения центра тяжести сечения необходимо определять значения статических моментов этого сечения.

Статическими моментами площади сечения относительно осей и называются определенные интегралы вида: и , где F - площадь сечения, и - координаты элемента площади dF.

Если известно положение центра тяжести сечения, то статические моменты сечения могут быть подсчитаны по простым формулам, без взятия интегралов, а именно , , где и - координаты центра тяжести сечения.

Оси, проходящие через центр тяжести сечения -называются центральными. Центр тяжести сечения лежит на оси симметрии сечения. Если сечение имеет хотя бы две оси симметрии, то центр тяжести лежит на пересечении этих осей.

Для сложного сечения, состоящего из k простейших фигур, координаты центра тяжести сечения определяются по формулам

; ,

где и - координаты центров тяжести отдельных фигур сечения, –площадь поперечного сечения k –ой фигуры.

Моменты инерции сечения тела. Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно полюса, лежащего в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных участков на квадраты их расстояний до полюса Р.

, м⁴.

Осевым моментом инерции плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных участков на квадрат их расстояний до этой оси.

, м⁴.

Оси, относительно которых моменты инерции имеют максимальные и минимальные значения, называются главными осями инерции.

Если главная ось инерции проходит через центр тяжести фигуры, то она называется главной центральной осью, а момент инерции относительно этой оси – главным центральным моментом инерции.

. Моменты сопротивления сечения тела. Осевым моментом сопротивления называется отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию от оси до наиболее удаленной точки поперечного сечения

, .

Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения

.

В качестве полюса принимается центр тяжести поперечного сечения стержня.

2. Определение геометрических характеристик сечения

Разобьем сечение на три части (два прямоугольника и полукруг). Введем обозначения сторон: b =60·10^-3м; h₁=10·10^-3 м; b₂=25·10^-3 м; h₂=10·10^-3м.

Рисунок 4.

Площади частей:

; ; .

Так как ось y является осью симметрии сечения, то центр тяжести сечения располагается на этой оси, x_C=0.

Ординату центра тяжести сечения вычисляем по формуле:

,

где y₁=ос₁=5·10^-3м; у₂=OC₂=15·10^-3м; у₃=OC₃=20+0.424R=25.3·10^-3м.

Применяя метод разбиения и формулы моментов инерции прямоугольников и полукруга относительно собственных центральных осей, а также теорему о моменте инерции относительно оси, параллельной центральной (теорему Гюйгенса- Штейнера), записываем:

,

где d₁=6.825·10^-3м; d₂=3.175·10^-3м; d₃=8.175·10^-3м

Моменты инерции J_у вычисляем как сумму моментов инерции прямоугольников и полукруга относительно центральной оси

.

, ,

3. Подготовка задачи решению задачи в MathCad

1. Расчет балки на растяжение-сжатие

1. Обоснование метода решения

Для определения продольных сил, нормальных напряжений и деформации применим метод сечений

2. Составление расчетной схемы и аналитическое решение

Материал бруса – сталь Ст.3; МПа; кН; см²; см²; м.

Решение. Разбиваем брус на участки 1(АВ), 2(ВС) и 3(CD). Применяя метод сечений, рассматриваем равновесие левой части, отбрасывая при этом отсеченную правую часть

Для участка 1 N₁ = P= 60кН;

Для участка 2 N₂= P= 60кН;

Для участка 3 N₃= P+2P=3P=180кН.

Эпюра, показывающая, как меняется N по длине бруса, изображена на рисунке 41.

Для построения эпюры нормальных напряжений, находим напряжения на каждом участке:

МПа; МПа;

МПа.

Эпюру перемещений строим, начиная от защемленного конца D. Перемещение поперечного сечения, где проложена сила 2P (точка С), равное удлинению участка CD.

мм.

Перемещение сечения В относительно сечения С равно удлинению участка ВС.

Абсолютное перемещение сечения В: мм.

Перемещение сечения А относительно В, равное удлинению участка АВ:

.

Абсолютное перемещение сечения А: мм.

Построенная по полученным данным эпюра перемещений показана на рисунке 41.

Рисунок 41.