1. Габаритный расчет.

Размеры входной щели монохроматора определяются исходя из следующих соображений. Чем меньше ширина S входной и выходной щели, тем выше предел разрешения прибора. Однако, минимальный размер ограничивается дифракционными явлениями. Поэтому минимальное значение ширины входной щели, когда дифракционным уширением можно пренебречь, будет равна:

S_min= λ * f’_об1 / D_св1;

где λ – максимальная длина волны спектра;

f’_об1 - фокусное расстояние объектива (переднего);

D_св1 – световой диаметр объектива.

S _min= 577 * 10^-6 * 110 / 50,5 = 0,000577 * 2,17 = 0,001252 мм;

Высота входной щели H₁ зависит от угла поля зрения переднего объектива и определяется выражением:

H₁=2 * f’_об1 * tgω;

где f’_об1 - фокусное расстояние объектива (переднего);

ω – половина угла полезрения этого объектива.

H₁ = 2 * 110 * tg7° = 220 * 0,122784 = 27,01248;

Исходя из полученных данных и зная габаритные размеры источника излучения, можно определить основные параметры конденсора:

- увеличение конденсора β_к будет равно:

β_к = H₁ / H;

где H – высота источника излучения (дуги);

β_к = 27,01248 / 15 = 1,8;

-переднее фокусное расстояние f_к определяется из выражения:

β_к = -f_к / x;

где x – расстояние от фокальной плоскости конденсора до источника излучения (рабочий отрезок); выбирается из конструктивных соображений (x ≥ D_колбы / 2);

β_к * x = -f_к;

x ≥ D_колбы / 2;

x ≥ 33 / 2 ≥ 16,5мм;

-f_к = β_к * x = 1,8 * 16,5 = -29,7 мм;

-положение конденсора (его главной плоскости) относительно источника излучения (предметная плоскость):

a_к = f_к + x;

a_к = -(29,7 + 16,5) = -46,2 мм;

-положение конденсора относительно входной щели монохроматора (плоскость изображения) a’_к из формулы:

1 / a’_к – 1 / a_к = 1 / f’_к;

1 / a’_к = 1 / f’_к + 1 / a_к;

a’_к = f’_к * a_к / a_к + f’_к;

a’_к =29,7 * (-46,2) / (-46,2) + 29,7 = (-1372,14) / (-16,5) = 83,16 мм;

С учётом знаков;

-световой диаметр конденсора:

D_св.к = a’_к * D_св.об.1 / f’_{об.рассч.};

где D_св.об.1 – световой диаметр переднего объектива;

f’_{об.рассч.} – фокусное расстояние рассчитанного объектива;

D_св.к = 83,16 * 50,5 / 110 = 38,17 мм;

-угол охвата конденсора 2U из формулы:

tgU = D_св.к /( 2 * a_к);

tgU = 38,17 /(2 * 46,2) = 0,4130;

U = 22,4°; 2U = 44°08′;

Вычислим радиусы кривизны конденсора r₁ и r₂, выводим из формул полученных из источника [3]:

r₁ = a_к * (-β_к) * ;

r₂ = a_к * (-β_к) * ;

где n – показатель преломления конденсора;

r₁ и r₂ – радиусы кривизны конденсора;

β_к – увеличение конденсора;

Материал конденсора: K8, n_к = 1,5163;

α₂ = ;

где β_к – увеличение конденсора;

α₂ = ;

r₁ = -46,2 * (-1,8) * = 38,837;

r₂ = -46,2 * (-1,8) * ;

Рассчитаем стрелки прогиба:

h = r - ;

где D = D_св.к + 2мм;

D = 38,17 + 2 = 40,17 мм;

h₁ = 38,837 - 38,837 – 33,24 = 5,597 мм;

h₂ = - мм;

Выбираем толщину d равную 2 мм:

d = h₁ + h₂ + 2;

d = 5,597 + 9,875 + 2 = 17,472;

Рассчитываем новый фокус конденсора:

;

0,034 + (-0,0000311) = 0,033;

;

Рассчитываем новое положение конденсора (его главной плоскости) относительно источника излучения (предметная плоскость) с учётом нового значения f_к:

a_к = f_к + x;

a_к = -( ) = -46,8;

Рассчитываем положение конденсора относительно входной щели монохроматора (плоскость изображения) a’_к с учётом новых значений:

1 / a’_к – 1 / a_к = 1 / f’_к;

C учётом знаков;

a’_к = f’_к * a_к / a_к + f’_к;

a’_к = * (-46,8) / (-46,8) + = (-1418,04) / (-16,5) = 85,942 мм;

S_F = -f_к * ;

S_F = -30,3 * = -30,3 * 1,235 = -23,18;

S’_F = f_к * ;

S’_F = 30,3 * 30,3 * 0,847 = 25,664;

S_H = S_F – f’;

S_H = -23,18 + 30,3 = 7,12;

S’_H = S’_F – f’;

S’_H = 25,664 – 30,3 = -4,63;

ΔH = ;

ΔH = = ;

Рассчитываем световой диаметр конденсора с учётом новых значений:

D_св.к = a’_к * D_св.об.1 / f’_{об.рассч.};

где D_св.об.1 – световой диаметр переднего объектива;

f’_{об.рассч.} – фокусное расстояние рассчитанного объектива;

D_св.к = 85,942 * 50,5 / 110 = 39,455 мм;

Рассчитываем угол охвата конденсора 2U из формулы с учётом новых значений:

tgU = D_св.к / (2 * a_к);

tgU = 39,455 / (2 * 39,455) = 0,5;

U = 26,6°; 2U = 53,2°;

Определим положение главных плоскостей объектива:

Справочные данные объектива:

f ′об. = 110 мм;

Dсв.=50,5 мм;

2 ω=14°;

n1 = 1; (воздух)

r1 = 66,66;

d1 = 15; n2 = 1,5163; (К8)

r2 = -48,31;

d2 = 3; n3 = 1,6475; (ТФ1)

r3 = - 154,07;

n4 = 1; (воздух)

Путём просчёта нулевых лучей определяем положение главных плоскостей пересчитанного объектива относительно передней и задней поверхностей, используя

уравнение углов и уравнение высот нулевого луча (вычислим заднее фокусное расстояние (f ^′_об.) и задний фокальный отрезок (s′_F′) объектива).

Рассчитываем прямой ход луча:

α₁=0, h₁=D_св.об. / 2 = 25,25 мм;

tgα₂ = h₁ * [(n₂-n₁) / n₂ * r₁] = 25,25 * [(1,5163-1) / 1,5163 * 66,66] = 0,12897;

h₂ = h₁- d₁ * tgα₂ = 25,25 - 15 * 0,12897 = 23,31535 мм;

tgα₃ = n₂ / n₃ * tgα₂ + h₂ * (n₃-n₂) / (n₃*r₂) = 1,5163/1,6475 * 0,12897 + 23,31535 *

* (1,6475 - 1,5163) / (1,6475 * (-48,31)) = 0,11869 + (-0,03823) = 0,08046

h₃ = h₂ - d₂ * tgα₃ = 23,31535 – 3 * 0,08046 = 23,07397 мм;

tgα₄ = n₃ / n₄ * tgα₃ + h₃ * (n₄ - n₃) / (n₄ * r₃) = 1,6475 /1 * 0,08046 + 23,07397 * (1-1,6475) / (1 * (-154,07) = 0,13255 + 0,09691 = 0,22946

f ^′_об = h₁ / tgα₄ = 25,25 / 0,22946 = 110,04 мм;

S′_F = h₃ / tgα₄ = 23,07397 / 0,22946 = 100,55 мм;

б′ = f ′_об - S′_F = 110,04 – 100,55 = 9,49 мм;

Рассчитываем обратный ход луча (принимаем последний радиус кривизны за первый, меняем знаки радиусов на противоположные, меняем номера толщин и показателей преломления):

tgα₂ = h₁ * (n₂ - n₁) / (n₂ * r₁) = 25,25 * (1,6475-1) / (1,6475 * 154,07) = 0,06438

h₂ = h₁ - d₁ * tgα₂ = 25,25 - 3 * 0,06438 = 25,05686 мм;

tgα₃ = n₂ / n₃ * tgα₂ + h₂ * (n₃-n₂) / (n₃*r₂) = 1,6475 / 1,5163 * 0,06438 + 25,05686 * (1,5163 – 1,6475) / (1,5163 * 48,31) = 0,06995 + (-0,04485) = 0,0251

h₃ = h₂ - d₂ * tgα₃ = 25,05686 – 15 * 0,0251 = 24,68036 мм;

tgα₄ = n₃ / n₄ * tgα₃ + h₃ * (n₄-n₃) / (n₄*r₃) = 1,5163 / 1 * 0,0251 + 24,68036 * (1-1,5163) / (1 * * (-66,66)) = 0,03805 + 0,19102 = 0,22907

f_об= h₁/ tgα₄ = 25,25 / 0,22907 = 110,22 мм;

S_F = h₃ / tgα₄ = 24,68036 / 0,22907 = 107,74 мм;

б_об = f_об - S_F = 110,22 – 107,74 = 2,48 мм;

Таким образом, мы определили положение передней и задней плоскостей объектива относительно его передней и задней рабочих поверхностей.

Определяем размеры призмы:

Призма является основным элементом оптической части прибора.

Параллельный световой пучок, проходя через призму и отклоняясь к ее основанию, разлагается на монохроматические составляющие. При этом пучки с меньшей длиной волны отклоняются сильнее. В основе этого явления лежит зависимость показателя преломления n материала призмы от длины , т.е. средняя дисперсия материала.

В спектральном приборе призма устанавливается так, чтобы линия пересечения ее преломляющих граней a и b (см. рис. 1), т.е. переломляющее ребро, была параллельно щели. Плоскость, перпендикулярная преломляющему ребру, называется плоскостью главного сечения призмы. Двугранный угол A, образуемый двумя рабочими поверхностями - это преломляющий угол призмы, равный 60 ^о.

Рассмотрим ход одного из лучей падающего на призму пучка (рис. 1).

Обозначим через и углы падения луча на грани призмы a и b соответственно. и - углы преломления на этих гранях.

Угол  - это угол отклонения луча призмой. Если обеспечить условие (т.е. направление луча в призме параллельно основанию призмы), то в этом случае угловое увеличение призмы Г=1 и поэтому отсутствует дополнительное уширение изображения щели. Тогда размеры выходной щели будут соответствовать размерам входной, что значительно упрощает расчеты.

Итак:

i’₁ = i₂ = A / 2;

i’₁ = i₂ = 60 / 2 = 30°;

Так как показатель преломления:

;

призмы для определенной длины волны  постоянен, то и:

;

Для обеспечения этого условия для всех длин волн, составляющих спектр излучения, нужно знать показатели преломления лучей с наибольшей и наименьшей длиной волны спектра, т.е. и , и, как следствие, углы падения лучей этих длин волн и .

Разность этих углов и будет составлять угол поворота призмы  :

Δα = i_{1 max} – i_{1 min} = i^’_{2 max} – i^’_{2 min};

Рис. 1. Ход лучей в призме в главном сечении.

Показатели преломления для различных длин волн n_ можно определить из формулы Гартманна:

;

Принимая  =1, составляется система уравнений для трех постоянных неизвестных: n₀ , c, ₀ , используя известные n_ ;

Для марки стекла ТФ2 (по заданию):

n_d = 1.672680;

n_F – n_C = 0.02087;

n_F = 1,687472;

n_C = 1,666602;

n_D = 1,672500;

n_e = 1,677617;

λ_D = 589,29 нм; λ_F = 486,13 нм; λ_e = 546,07 нм; λ_C = 656,27 нм;

Находим n₀, c, λ₀, решив систему:

1. 1,687472 = n₀ + c / (486,13 - λ₀);

2. 1,672500 = n₀ + c / (589,29 - λ₀);

3. 1,666602 = n₀ + c / (656,27 - λ₀);

из 1. n₀ = 1,687472 – c / (486,13 - λ₀);

из 2. n₀ = 1,672500 – c / (589,29 - λ₀);

из 3. n₀ = 1,666602 – c / (656,27 - λ₀);

1. 1,687472 – 1,672500 = (n₀ + c / (486,13 - λ₀)) – (n₀ + c / (589,29 - λ₀));

0,014972 = c / (486,13 - λ₀) – c / (589,29 - λ₀);

0,014972 = ;

0,014972 = ;

2. 1,672500 – 1,666602 = (n₀ + c / (589,29 - λ₀)) – (n₀ + c / (656,27 - λ₀));

0,005898 = c / (589,29 - λ₀) – c / (656,27 - λ₀);

0,005898 = ;

0,005898 = ;

3. = * ;

= ;

* = ;

2,5033444 * 0,649282 = ;

1,625376 = ;

1,625376 * (486,13 - λ₀) = 656,27 - λ₀;

790,144034 – 1,625376 * λ₀ = 656,27 - λ₀;

λ₀ = 135,49941 / 0,625376 = 216,668708;

Находим «c» :

0,014972 = ;

c = 14,578383;

Находим n₀, подставляя в первое выражение:

1,687472 = n₀ + c / (486,13 - λ₀);

n₀ = 1,687472 – = 1,633371;

n₀ = 1,633371;

Рассчитываем n_λ , используя выражение:

n_λ = 1,633371 + ;

Находим:

n_h = 1,633371 + = 1,710903;

n_g = 1,633371 + = 1,699899;

n_e = 1,633371 + = 1,677624;

n’_d = 1,633371 + = 1,673829;

i₁ = arcsin n_λ / 2;

i_h = 58,80 = 58°48' = i_{1 max};

i_g = 58,20 = 58°12';

i_e = 57,01 = 57°;

i’_d = 56,81 = 56°48' = i_{1 min};

Рассчитываем Δα (угол поворота призмы) используя выражение:

Δα = i_{1 max} – i_{1 min} = i^’_{2 max} – i^’_{2 min};

Δα = i_{1 max} – i_{1 min} ;

Δα = 58,80 -56,81 = 1,99;

i’₁ = i₂ = A/2;

i’₁ = i₂ = 60 / 2 = 30°;

sin i_max = n_h * sin i’₁;

sin i_max = 1,710903 * sin 30° = 0,8554515;

i_h = 58,80 = 58°48' = i_{1 max};

sin i_min = n’_d * sin i’₁;

sin i_min = 1,673829 * sin 30° = 0,8369145;

i’_d = 56,81 = 56°48' = i_{1 min};

Задний объектив монохроматора 6 (рис.2) аналогичен по своим параметрам переднему объективу 4. Он фокусирует вышедшие из призмы параллельные монохроматические пучки лучей в фокальной плоскости, где размещается неподвижная выходная щель 7.

Рис. 2. Оптическая схема монохроматора.

Поворачивая призму относительно точки O (рис.1),можно получить на выходной щели монохроматора монохроматическое изображение входной щели для всех длин волн , составляющих спектр излучения.

Взаимное расположение призмы и переднего и заднего объективов выбирается конструктивно, т.к. система работает в параллельных пучках лучей.

Размеры призмы выбираются с учетом светового диаметра падающего на нее пучка лучей D_св.об.1, припусков для крепления призмы , и угла падения пучка лучей максимальной длины волны на грань a, т.е.

a = b = c = ( D_св.об.1 / cos i_1max ) + Δ ;

где D_св.об.1 – световой диаметр;

cos i_1max – угол падения пучка лучей максимальной длины волны;

 - припуск для крепления призм;

a = b = c = (50,5 / cos59°) + 2 = 100,05 мм;

Поворот призмы осуществляется качанием юстировочного столика, на котором она закреплена, относительно точки O (рис.3) с помощью юстировочного винта.

tgΔα = l / d_max ;

где l – max линейное перемещение юстировочного винта;

d – плечо силы P, создаваемой поступательным движением юстировочного винта;

Рис. 3.

a – длина юстировочного столика, равная основанию призмы;

Разрешение прибора Δα_min между ближайшими спектральными линиями будет зависеть кроме всего и от величины d.

Из конструктивных соображений необходимо стремится, чтобы размер юстировочного столика a = 2d:

d_max = (0,5 * а) / cos Δα;

d_max = (0,5 * 100,05) / cos 1,99 = 50,05;

Из tgΔα = l / d_max ;

l= tgΔα * d_max ;

l = tg 1,99 * 50,05 = 1,739 мм;