1.2. Вычисление определенных интегралов
Цель работы: изучение методов численного интегрирования функций с заданными пределами и приобретение практических навыков по реализации их на ЭВМ.
1.2.1. Теоретическая часть
Алгоритм вычисления определенного интеграла
методом Симпсона с переменным шагом
интегрирования.Разбивается отрезок интегрирования на 2n равных частей с шагом h=(b-a)/(2n).
На каждом отрезке, состоящих из трех точек на интервалах [x0,x2], [x2,x4],…[x2n-1,x2n], подынтегральная функция f(x) заменяется параболой в виде интерполяционной формулы Ньютона:
.Суммируя интервалы, получим
,
где
f0
=f(a);
f2n
= f(b);
fi
- значение
функции внутри отрезка.Затем шаг интегрирования h уменьшается вдвое и производится оценка точности вычислений R двух последних циклов вычислений сумм площадей, которая сравнивается с величиной ε по условию R=|S2n-Sn|/15<ε.
Процесс вычисления площадей повторяется, если R будет ложно.
Алгоритм вычисления определенного интеграла методом трапеций с переменным шагом интегрирования.
Разбивается отрезок интегрирования на n равных частей с шагом h=(b-a)/n.
На каждом отрезке подынтегральной функции заменяется ломаными линиями, и вычисляются площади трапеций. Для вычисления интеграла используется формула
.Затем шаг интегрирования h уменьшается вдвое, и количество шагов увеличивается вдвое.
Производится оценка точности вычислений R двух последних циклов вычислений сумм площадей, которая сравнивается с величиной ε по условию R=|S2n-Sn|/3<ε.
Процесс вычисления площадей повторяется, если R будет ложно.
1.2.2. Практическая часть
Постановка
задачи.
Вычислить значение определенного
интеграла
методом Симпсона и трапеций с точностью
и по формуле Ньютона - Лейбница y=F(b)-F(a),
где
.
Программный код вычисления определенного интеграла методом Симпсона.
Function F(x As Single) As Single
F = Sin(x)
End Function
Function FF(x As Single) As Single
FF = -Cos(x)
End Function
Private Sub Form_Load()
Dim ss As String
Caption = "Метод Симпсона"
a! = InputBox("введите левую границу интеграла",,0)
b! = InputBox("введите правую границу интеграла",,3.1415926)
e! = InputBox("введите погрешность",,0.000001)
n& = InputBox("введите количество шагов",,20)
pf! = FF(b) - FF(a)
i1! = 0 : i2! = 1
p! = (F(a) - F(b)) / 2
h! = (b - a) / (2 * n)
Do While Abs(i2 - i1)/15 > e
x! = a + h
s1! = 0 : s2! = 0
Do While x < b
s1 = s1 + F(x)
s2 = s2 + F(x + h)
x = x + 2 * h
Loop
i1 = i2
i2 = 2 * h / 3 * (p + 2 * s1 + s2)
h = h / 2
ss = ss & Format(i2, "#0.00000000") & vbCrLf
Loop
Text1 = ss & vbCrLf & "Integral = " & Format(i2, "#0.00000000") & _
vbCrLf & "Первообразная = " & Format(pf, "#0.00000000")
End Sub
Рис.4
Программный код вычисления определенного интеграла методом трапеций.
Function F(x As Single) As Single
F = Sin(x)
End Function
Function FF(x As Single) As Single
FF = -Cos(x)
End Function
Private Sub Form_Load()
Dim ss As String
Caption = "Метод трапеций"
a! = InputBox("введите левую границу интеграла",,0)
b! = InputBox("введите правую границу интеграла",,3.1415926)
e! = InputBox("введите погрешность",,0.00001)
n& = InputBox("введите количество шагов",,20)
i1! = 0 : i2! = 1 ‘ Начальные значения интегралов
y
Рис.5
h! = (b - a) / n
Do While Abs(i2 - i1)/3> e
x! = a
y! = 0
For i& = 1 To n - 1
x! = x + h
y! = y + F(x)
Next i
i1 = i2
i2 = h * (y + y0 + yn)
h = h / 2 : n = n * 2
ss = ss & Format(i2, "#0.00000000") & vbCrLf
Loop
ss = ss & vbCrLf & "Integral = " & Format(i2, "#0.0000000")
Text1 = ss & vbCrLf & "Первообразная = " & _
Format(FF(b) - FF(a), "#0.0000000")
End Sub