- •1. Кинематика
- •1.1. Координатный и векторный способы задания движения точки
- •1.1.1. Уравнения движения точки в декартовых координатах. Траектория
- •Проектируя это векторное равенство на оси, получим:
- •1.1.2. Скорость и ускорение точки в декартовых координатах
- •1.1.33. Положение линейки ав (риc.
- •1.2. Естественный способ задания движения точки
- •1.2.1. Уравнение движения точки по траектории. Скорость точки Уравнение движения точки по траектории имеет вид
- •Скорость точки как алгебраическую величину определяют по формуле
- •Из рисунка найдем
- •1.2.2. Ускорение точки. Равномерное и равнопеременное движение точки
- •При этом
- •1.2.3. Радиус кривизны траектории точки
- •Касательное ускорение
- •1.3. Поступательное и вращательное движения
- •1.3.1. Поступательное движение твердого тела
- •1.3.2. Уравнение вращения. Угловая скорость и угловое ускорение тела. Равномерное и равнопеременное вращение тела Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси имеет вид
- •1.3.3. Вращательное движение твердого тела. Скорость и ускорение точек тела
- •1.3.4. Преобразование поступательного и вращательного движения тела в механизмах
- •1.4. Плоскопараллельное движение твердого тела
- •1.4.1. Уравнения движения и скорости точек плоской фигуры
- •1.4.2. Угловая скорость плоской фигуры
- •1.4.3. Угловое ускорение плоской фигуры
Касательное ускорение
= - 6b sin t.
Найдем проекции ускорения точки на координатные оси:
= - Зb (cos t + 3 cos 3t);
= 3b(sin t -3sin 3t),
отсюда
a2 = 18b2(5 + З cos 2t).
Определим нормальное ускорение точки:
,
откуда
an = 126 cos t.
Искомый радиус кривизны траектории
= 3bcost.
Наибольший радиус кривизны ρmах = 3b.
Пример 6. Точка движется в плоскости хОу с постоянным ускорением , равным по модулю 2 м/с2 и направленным параллельно оси Ох. Определить радиус кривизны траектории точки в момент t = 1 с, если в начальный момент точка имела скорость равную по модулю 2 м/с и направленную под углом α = 30° к оси Оу.
Решение. Согласно условиям задачи, ускорение постоянно по модулю и направлению. Поэтому в любой момент времени будут иметь место соотношения
= 2; = 0.
Интегрируя, получим
.
Так как при t = 0
; ,
то
C1= v0 sin α = 1; C2 = v0 cos α = √3.
Следовательно,
vх = 2t + 1; vy = √3.
Теперь найдем модули скорости
и касательного ускорения
.
В момент t = 1 с, получим
м/c; м/с2.
Так как a = 2 м/с2, то при t = 1 с
= 1 м/с2.
После этого найдем
м.
Задачи
1.2.12.* Движение точки задано уравнениями х = 3t; y = 4t - 3t2 (х, у - в сантиметрах, t - в секундах). Определить радиус кривизны траектории точки в те моменты, когда она пересекает ось Ох.
Ответ: ρ = 6,94 см.
1.2.13.* Движение точки в вертикальной плоскости задано уравнениями
х = v0t – r sin ; y = R – r cos , где v0, r и R — постоянные величины. Определить радиус кривизны траектории точки в наивысшем ее положении.
Ответ: ρ = (r + R)2/r.
1.2.14.* Движение точки задано уравнениями
х = r cos ωt +l sin ; y = - l cos + r sin ωt,
где r, l, ω — постоянные величины.
Определить радиус кривизны траектории точки в момент t = π/ω.
Ответ: ρ = .
1.2.15.* Движение точки задано уравнениями x = 2b cos t – b cos 2t, y = 2b sin t – b sin 2t, где b - постоянная величина. Определить наибольший радиус кривизны траектории точки.
Ответ: ρтах = 8b/3
1.2.16.* Движение точки задано уравнениями х = t; y = sin t2. Определить радиус кривизны траектории точки в ближайший после начала движения момент времени, в который точка пересекает ось Ох.
Ответ: ρ = 25,1.
1.2.17.* Движение точки задано уравнениями
x= t cos t, y = t sin t, z = Н - 2t, где постоянная величина Н и х, у, z - в метрах, t - в секундах. Определить радиус кривизны траектории точки в момент t = 2 с.
Ответ: ρ = 3,27 м.
1.2.18.* Движение точки задано уравнениями
х = еt соs t; y = et sin t; z = et. Определить радиус кривизны траектории точки в момент t.
Ответ: ρ = .
1.2.19.* Точка движется в пространстве с постоянным ускорением , направленным параллельно оси Ох и равным по модулю 5 м/с2. В начальный момент точка имела скорость равную по модулю 5 м/с и образующую с осями Ох и Оу соответственно углы α = 60° и β = 45°. Определить радиус кривизны траектории точки в момент t = 1 с.
Ответ: ρ = 30 м.
1.2.20.* Угол поворота винта судна диаметром 120 см изменяется по закону φ = 10πt рад (t - в секундах). Судно движется прямым курсом с постоянной скоростью, равной 10 м/с. Определить радиус кривизны траектории точки винта, наиболее удаленной от оси.
Ответ: ρ = 0,77 м.
1.2.21.*Колесо радиусом R катится без скольжения по прямолинейному рельсу со скоростью центра = const. Определить радиус кривизны траектории точки на ободе колеса в тот момент, когда оно сделает 1/4 оборота, если в начальный момент данная точка совпадала с точкой касания.
Ответ: ρ = 2R√2.
1.2.22.* Из условий задачи 38 определить радиус кривизны траектории точки при повороте колеса на угол 120°.
Ответ: ρ = 2R√3.
1.2.23.* Движение точки по кривой у = х2 задано уравнением s = l,5t2 - 4t (х, у, s - в метрах, t - в секундах). При t = 0 x = y = 0. Определить: 1) характер движения точки в моменты t0 = 0; t1 = 1 с и t2 = 2 с; 2) модули скорости, касательного и нормального ускорений точки в момент t = 0.
Ответ: 1) при t = 0 и t = 1 с движение замедленное, при t = 2 с - ускоренное;
2) v = 4 м/с; aτ= 3 м/с2; аn = 32 м/с2.
1.2.24.* Движение точки задано уравнениями х = t; y = t2 (х, у - в метрах, t - в секундах). Определить модули скорости и ускорения точки, а также радиус кривизны траектории в момент, когда последний достигает своего наименьшего значения.
Ответ: v = 1 м/с; а = 2 м/с2; ρ = 0,5 м.
1.2.25.* Перемещение грузов по подвесному тросу осуществляется с помощью люльки (рис. 21), подвешенной к подвижному ролику С. Точки A и В крепления троса находятся на одной горизонтали на
Рис. 21 расстоянии АВ = 40 м.
Считая части троса АС и ВС прямолинейными, определить радиус кривизны траектории ролика С, если наибольшее провисание троса равно 4 м. Найти также нормальное ускорение ролика и тот момент, когда он проходит середину троса со скоростью 3 м/с. Размерами ролика пренебречь.
Ответ: ρ = 100 м; ап= 0,0865 м/с2
1.2.26. Даны нормальное ап = 2,5 м/с2 и касательное аτ = 1,5 м/с2 ускорения точки. Определить полное ускорение точки. (2,92)
1.2.27. Определить модуль ускорения точки, если его вектор , где и - орты естественного триэдра. (4,30)
1.2.28. Точка движется по криволинейной траектории с касательным ускорением аτ = 1,4 м/с2. Определить нормальное ускорение точки в момент времени, когда ее полное ускорение а = 2,6 м/с2. (2,19)
1.2.29. Определить нормальное ускорение точки в момент времени, когда ускорение точки а = 1,5 м/с2, а угол между векторами ускорения и скорости равен 65°. (1,36)
1.2.30. Точка движется по окружности. Определить радиус окружности, если в момент времени, когда скорость r = 10 м/с, вектор ускорения и вектор скорости, равный по модулю 1,2 м/с, образуют угол 30 . (167)
1.2.31. Ускорение точки равно а = 1 м/с. Векторы ускорения и скорости образуют угол 45°. Определить скорость в км/ч, если радиус кривизны траектории ρ = 300 м. (52,4)
1.2.32. Точка движется по окружности, радиус которой r = 200 м, с касательным ускорением 2 м/с2. Определить угол в градусах между векторами скорости и полного ускорения точки в момент времени, когда ее скорость v = 10 м/с. (14,0)
1.2.33. Точка движется по окружности, радиус которой r = 50 м, со скоростью v = 2t. Определить модуль полного ускорения в момент времени t = 5 с. (2,83)
1.2.34. Задано уравнение движения точки по криволинейной траектории: s = 0,2 t2 + 0,3t. Определить полное ускорение точки в момент времени t = 3 с, если в этот момент радиус кривизны траектории ρ = 1,5м. (1,55)
1.2.35. Определить скорость точки в момент времени, когда радиус кривизны траектории ρ = 5 м, касательное ускорение аτ = 2 м/с2 , tg β = 3, где β - угол между векторами скорости и ускорения точки (5,48)
1.2.37. По окружности радиуса r = 6 м движется точка со скоростью v = 3t. Определить угол в градусах между ускорением и скоростью точки в момент времени t = 1 с. (26,6)
1.2.37. Точка движется по окружности радиуса r = 9 м. Определить скорость точки в момент времени, когда касательное ускорение аτ = 2 м/с2, а вектор полного ускорения образует угол 70° с касательной к траектории. (7,03)
1.2.38. Точка движется по окружности радиуса r = 200 м из состояния покоя с постоянным касательным ускорением аτ = 1 м/с2. Определить, полное ускорение точки в момент времени t = 20 с. (2,24)
1.2.39. На рис. 22 приведены графики ускорений
а τ = аτ (t) и ап = ап (t). Определить, какой угол в градусах образует полное ускорение с направлением скорости в момент времени t = 3 с. (56,3)
1.2.40. Точка движется по окружности радиуса r = 2 м. Нормальное ускорение точки
меняется согласно закону аn= 2t2.
Рис. 22 Определить угол в градусах между векторами скорости и полного ускорения точки в момент времени t = 1 с. (45)
1.2.41. Задан закон движения точки по траектории: s = 0,5t2. Определить угол в градусах между векторами скорости и полного ускорения точки в момент времени t1= 3 с, когда радиус кривизны ρ = 4 м.(66,0)
1.2.42. По окружности радиуса r = 1 м движется точка согласно уравнению s = 0,1 t3. Определить полное ускорение точки в момент времени t = 2 с. (1,87)
1.2.43. Точка движется по криволинейной траектории с касательным ускорением аτ = 2 м/с2. Определить угол в градусах между векторами скорости и полного ускорения точки в момент времени t1= 2 с, когда радиус кривизны ρ = 4 м, если при t0 = 0 скорость v0 = 0. (63,4)