1.2.2. Ускорение точки. Равномерное и равнопеременное движение точки
При естественном способе задания движения ускорение точки определяют формулой
.
(16)
При этом
, (17)
где
,
(18)
.
(19)
aτ
- проекция ускорения
на
,
a
- алгебраическая
скорость точки;
an - модуль нормального ускорения точки;
-единичные
векторы главной нормали и касательной.
Если точка движется равномерно, то
v = const; aτ = 0; s = s0 + vt. (20)
При равнопеременном движении aτ = const. В этом случае
,
(21)
s
= s0
+
v0
t +
,
(22)
а также
s
= s0
+
,
(23)
s
= s0
+
.
(24)
Пример 4. При прямолинейном движении судна его скорость в пункте А была 10 узлов, а в пункте В стала 30 узлов. Расстояние между пунктами A и В равно 2 милям. Считая в первом приближении движение судна равноускоренным, определить время t движения судна на данном расстоянии, а также модуль его ускорения (узел - 1 единица скорости, равная миле в час, или 0,5144 м/с).
Решение. Если взять начало отсчета в начальном положении судна, то
s0 = 0; v0 = 10 узлов; v = 30 узлов; s = 2 мили.
По формуле (23) найдем
t
=
ч
= 6 мин.
Пользуясь (21), получим
аτ
=
=
220
узл/ч
Так как движение прямолинейное, то аτ = а.
Задачи
1.2.8.* Искусственный спутник обращается вокруг Земли на высоте 500 км по круговой орбите. Определить время обращения и модуль скорости спутника, если известно, что его центростремительное ускорение должно быть равно ускорению свободно падающего тела. На данной высоте g = 8,5 м/с2, а радиус Земли R ≈ 6370 км.
Ответ: v = 7,64 км/с, t = 1,56 ч.
1.2.9.* Считая движение снаряда в канале ствола равноускоренным, определить изменение модуля скорости снаряда при выходе из канала, если ствол укоротить в п раз.
Ответ: Уменьшится в √п раз.
1.2.10.* Ракета, движущаяся вертикально вверх равноускоренно, в момент окончания процесса горения рабочего вещества (активный участок траектории) достигла высоты 30 км со скоростью 7200 км/ч. Считая дальнейшее движение ракеты равнозамедленным с ускорением, равным по модулю 9,2 м/с2, определить время t и полную высоту Н подъема ракеты, если в начальный момент ее скорость была равна нулю.
Ответ: Н = 247 км; t = 4 мин 7с.
1.2.11.* Точка движется по окружности радиусом R равноускоренно из состояния покоя и совершает первый полный оборот за t (с). Определить модули скорости и ускорения точки в конце этого промежутка времени.
Ответ:
v
=
;
.
1.2.3. Радиус кривизны траектории точки
Радиус кривизны траектории движущейся точки определяют по формуле
.
Если даны уравнения движения точки в координатной форме: x = x(t); y = y(t); z = z(t), то для определения ρ находят:
1)
;
;
;
;
2) ;
3)
;
;
;
;
4)
;
5) .
Пример 5. Движение точки задано уравнениями
х = b(3cos t + cos 3t),
у = b(3sin t+sin 3t) (b - постоянная величина).
Определить радиус кривизны траектории как функцию времени в промежутке .
Решение. Определим проекции скорости точки на координатные оси:
= 3b(sin t + sin 3t);
= 3b(cos t + cos 3t),
следовательно,
v2 = 18b2 (1 + cos 2t) = 36b2 cos2 t,
откуда v = 6b cos t.