- •1. Кинематика
- •1.1. Координатный и векторный способы задания движения точки
- •1.1.1. Уравнения движения точки в декартовых координатах. Траектория
- •Проектируя это векторное равенство на оси, получим:
- •1.1.2. Скорость и ускорение точки в декартовых координатах
- •1.1.33. Положение линейки ав (риc.
- •1.2. Естественный способ задания движения точки
- •1.2.1. Уравнение движения точки по траектории. Скорость точки Уравнение движения точки по траектории имеет вид
- •Скорость точки как алгебраическую величину определяют по формуле
- •Из рисунка найдем
- •1.2.2. Ускорение точки. Равномерное и равнопеременное движение точки
- •При этом
- •1.2.3. Радиус кривизны траектории точки
- •Касательное ускорение
- •1.3. Поступательное и вращательное движения
- •1.3.1. Поступательное движение твердого тела
- •1.3.2. Уравнение вращения. Угловая скорость и угловое ускорение тела. Равномерное и равнопеременное вращение тела Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси имеет вид
- •1.3.3. Вращательное движение твердого тела. Скорость и ускорение точек тела
- •1.3.4. Преобразование поступательного и вращательного движения тела в механизмах
- •1.4. Плоскопараллельное движение твердого тела
- •1.4.1. Уравнения движения и скорости точек плоской фигуры
- •1.4.2. Угловая скорость плоской фигуры
- •1.4.3. Угловое ускорение плоской фигуры
1.1.2. Скорость и ускорение точки в декартовых координатах
При задании движения точки в прямоугольных декартовых координатах скорость и ускорение точки определяются по их проекциям на неподвижные оси:
; ; ; (3)
; ; ; (4)
; (5)
; (6)
; ; ; (7)
; ; . (8)
Уравнения годографа скорости в параметрическом виде:
; ; , (9)
где х1, у1, z1 - текущие координаты точки, вычерчивающей годограф, а оси О1х1, O1y1, O1z1, соответственно параллельны осям Ох, Оу, Оz.
Пример 3. Даны уравнения движения точки; x = t2; y = t3/3. Определить: траекторию точки, скорость точки в момент t = 1 c, годограф скорости, ускорение точки при t = 2 c.
Решение. 1. Исключая t из уравнений движения, получим уравнение кривой, по которой движется точка:
(полукубическая парабола). Траекторией является часть этой параболы, соответствующая x ≥ 0.
2. Находим проекции скорости точки на оси координат по формулам (3)
; ,
откуда . Следовательно, v |t=l = √5 = 2,24.
Направление скорости определяется направляющими косинусами (7):
; ;
При t =1 c
; .
Таким образом, скорость в момент t = 1 c составляет с осями Ох и Оу соответственно углы 26°34' и 63°26'.
3. Находим уравнения годографа скорости в параметричес-ком виде по формулам (9): ; .
Исключая t, получим .
Годографом скорости точки является часть этой параболы, соответствующая (0 ≤ x1< ).
4. Находим проекции ускорения точки на оси координат по формулам (4):
; .
Отсюда , следовательно,
a│t=2 = 2√5 = 4,47.
Направление ускорения определяется направляющими косинусами по формулам (8):
; .
При t = 2 получим ; .
Таким образом, вектор в момент t = 2 образует с осями Ох и Оу соответственно углы 63°26 и 26°34'.
Пример 4. Груз С поднимается по вертикальной направляющей с помощью троса, перекинутого через неподвижный блок А (рис. 8)., отстоящий от направляющей на расстоянии АО = b. Определить скорость и ускорение груза С в з ависимости от расстояния ОС = х, если свободный конец троса тянут с постоянной скоростью и.
Решение. Из треугольника АОС .
Пусть С0 - начальное положение груза. Обозначая АС0= l, получим AC = l – ut, и уравнение движения груза С примет вид
Рис. 8 .
Находим проекцию скорости на ось Ох:
.
Из уравнения движения груза находим
= ,
следовательно .
Знак минус указывает на то, что точка движется в сторону уменьшения абсциссы х, т. е. вверх.
Находим проекцию ускорения точки на ось Ох:
.
Так как , то окончательно получим
.
Знак минус указывает на то, что ускорение точки направлено также вверх таким образом, движение груза ускоренное.
Задачи
1 .1.10.* Два судна А и В идут взаимно перпендикулярными курсами (рис. 9) с постоянными скоростями, равными по модулю 20 узлам (узел — единица скорости, равная миле в час). Определить закон изменения расстояния s между ними, если в
Рис. 9 начальный момент суда занимали положения А0 и B0, причем ОА0 = ОВ0 = 3 мили.
Ответ: s = √2 (3 + 20t) миль (t- в часах).
1.1.11. Дано уравнение движения точки . Определить модуль скорости точки в момент времени t = 2 с. (4,47)
1.1.12. Дан график скорости движения точки (рис.10) . Определить пройденный путь в момент времени t = 5 с. (7,5)
Рис. 10 Рис. 11
1 .1.13. Дан график скорости движения точки v = f(t) (рис.11).Определить пройденный путь в момент времени t = 60 с. (750)
1.1.14. Положение кривошипа (рис.12) определяется углом φ = 0,5t.
Рис. 12 Определить скорость ползуна В в момент времени t = 4 с, если ОА = АВ = 1,5 м. (-1,36)
1.1.15. Даны уравнения движения точки х = t2, у = sin πt, z = cos πt. Определить модуль скорости точки в момент времени t = 1 с. (3,72)
1.1.16. Скорость движения точки . Определить угол в градусах между вектором скорости и осью Ох в момент времени t = 4 с. (20,6)
1.1.17. Проекция скорости точки vх = 2 cos πt. Определить координату х точки в момент времени t = 1 с, если при t0 = 0 координата х0 = 0. (0)
1.1.18. Дано уравнение движения точки х = sin πt. Определить скорость в ближайший после начала движения момент времени t, когда координата х = 0,5 м. (2,72)
1.1.19. Заданы уравнения движения точки . Определить координату х точки в момент времени, когда ее координата у=12 м. (1,78)
1.1.20. Задано уравнение движения точки . Определить координату у точки в момент времени, когда r = 5 м. (4)
1.1.21. Заданы уравнения движения точки . Определить расстояние точки от начала координат в момент времени t=2 c. (7,21)
1.1.22. Скорость автомобиля равномерно увеличивается в течение 12 с от нуля до 60 км/ч. Определить ускорение автомобиля. (1.39)
1.1.23. Сколько секунд должен работать двигатель, который сообщает ракете ускорение 3g, чтобы скорость ракеты в прямолинейном движении возросла с 3 до 5 км/с? (68,0)
1.1.24. Самолет при посадке касается посадочной полосы с горизонтальной скоростью 180 км/ч. После пробега 1000 м самолет останавливается. Определить модуль среднего замедления самолета. (1,25)
1.1.25. Дан график ускоре-ния а = f(t) прямолинейно движущейся точки (рис. 13). Определить скорость точки в момент времени t = 2 с, если при t0 = 0 скорость v0 = 0. (2)
Рис.13 1.1.26. Дан график ускорения а = f(t) прямолинейно движущейся точки (рис.14). Определить скорость точки в момент времени t = 20 с, если при t0= 0 скорость v0= 0. (100)
Рис. 14
1.1.27. Скорость автомобиля 90 км/ч. Определить путь торможения до остановки, если среднее замедление автомобиля равно 3 м/с см, а закон изменения угла φ = 3t. (104)
1.1.28. Ускорение точки . Определить модуль ускорения в момент времени t = 2 с. (1,28)
1.1.29. Скорость точки . Определить модуль ускорения точки в момент времени t = 1,5 с. (3,13)
1.1.30. Определить ускорение точки В (рис.15) в момент времени, когда угол φ = 60°, если длина ОА = АВ = 20 (-1,8)
1.1.31. Определить ускорение точки В (рис. 16) в момент времени t =5 с, если длина кривошипа ОА = 15 см, а закон изменения угла φ = 3t. (-2,19)
Рис. 15 Рис.16
1 .1.32. Положение кривошипа ОА (рис.17) определяется углом φ = 2t. Определить проекцию ускорения ах точки А в момент времени t = 1 с, если длина ОА = 1 м. (1,66)