§ 4. Критерии устойчивости

Для определения знаков корней необходимо решить характери­стическое уравнение системы. Однако решать алгебраические урав­нения высоких порядков затруднительно. Поэтому при определении знаков корней, а следовательно, и при анализе систем на устойчи­вость используют специальные критерии, позволяющие, не при­бегая к решению характеристического уравнения, установить устой­чивость системы.

В 1895 г. швейцарский математик Гурвиц опубликовал работу, в которой изложил алгебраический критерий устойчивости, получив­ший впоследствии название критерия Гурвиц а.

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:

Критерий Гурвиц а. Согласно этому критерию, все корни характеристического уравнения системы имеют отрицательные ве­щественные части (система была устойчивой) только в том случае, если определители Гурвица при а_о>0 положительны.

Главный определитель Гурвица составляется следующим обра­зом. По главной диагонали записываются все коэффициенты харак­теристического уравнения в порядке возрастания индексов, начиная с а₁. Над каждым элементом главной диагонали определителя запи­сываются коэффициенты того же характеристического уравнения в порядке возрастания индексов, а под каждым элементом — коэф­фициенты в порядке убывания индексов. На местах коэффициентов с индексами меньше 0 и больше n ставятся нули.

Главный определитель Гурвица имеет вид

В 1938 г. А. В. Михайлов предложил частотный критерий, кото­рый также исходит из характеристического уравнения замкнутой системы. Этот критерий обладает большой наглядностью в силу его простой геометрической интерпретации.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Будем задавать значения ω в пределах от 0 до ∞. Для каждого значения получим на комплексной плоскости вектор с координата­м

и Р(ω) и Q(ω), а соединив кон­цы этих векторов плавной кри­вой, — годограф, который- назы­вается годографом Михай­лова. По расположению этого годографа можно сделать вывод об устойчивости или неустойчи­вости системы.

Критерий Михайлова. Система регулирования устойчи­ва только в том случае, если го­дограф Михайлова F(jω) при изменении ω от 0 до ∞ проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости (n—степень характеристического уравнения). Виды годографов Михайлова показаны на рис. 12.11.

В 1932 г. Найквист предложил критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характери­стике разомкнутой системы. Все системы автоматического регули­рования замкнутые. С целью исследования такой системы на устой­чивость по Найквисту ее условно размыкают и получают разомкну­тую систему.

Критерий Найквист а. Если система автоматического регу­лирования устойчива в разомкнутом состоянии, то для ее устойчиво­сти в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ не охватывал точку на комплексной плоско­сти с координатами —1; 0 (рис. 12.13).

Разомкнутая система устойчива в том случае, если она состоит из устойчивых звеньев — апериодических, колебательных и включает не более одного интегрирующего звена.

Если разомкнутая система неустойчива, формулировка критерия более сложна (такую систему мы не приводим). В этом случае, а также при перекрестных обратных связях между звеньями систе­мы, что затрудняет ее условное размыкание, рекомендуется приме­нять другие критерии.