Формули для нарощення при використанні дисконтної ставки легко отримати з формул дисконтування шляхом простого обороту останніх:

, (3.13)

. (3.13')

Приклад. Вексель на 500 тис. грн. враховується банком за дисконтною ставкою 15% при нарахуванні відсотків 12 разів на рік. Вексель враховується за 8 місяців до погашення. Необхідно визначити величину дисконту.

Скориставшись формулою (4.12') отримаємо

.

Отже дисконт складає 500000 – 452130 = 47870 грн.

3.3.3. Вплив інфляції на відсоткову ставку.Інфляція характеризується двома параметрами:

• τ – темп інфляції (у відсотках або частках одиниць) – це відсоткове збільшення деякої усередненої ціни (наприклад, ціни споживчого кошика):

• Ι – індекс інфляції: Ι = 1+ τ .

Звичайно і темп, і індекс інфляції прив'язують до конкретного проміжку часу. Так що

де - обсяг i-го ресурсу;

- ціна одиниці i-го ресурсу на початок періоду,

- ціна одиниці i-го ресурсу наприкінці періоду,

Проаналізуємо вплив темпу інфляції на ставку прибутковості за допомогою наступного простого прикладу. Нехай інвестор вкладає 1000 грн. у деякий фінансовий інструмент, що приносить йому прибутковість при ставці r_p = 20% річних, і це є реальна прибутковість, тобто прибутковість у припущенні, що ціни не змінюються і темп інфляції дорівнює 0. У цьому випадку інвестор через рік повинен отримати

грн.

Якщо темп інфляції протягом року складає 30%, то нарощена сума грошей коректується з урахуванням інфляції наступним способом:

грн.

У загальному випадку ми маємо наступне збільшення інвестованої суми 1000 грн.

грн. ,

або, у загальному випадку,

.

Економічний зміст такого перерахування: коректуванню на інфляцію піддається не тільки основна сума грошей, але й відсотковий дохід інвестора, тобто

. (3.16)

Остаточно, для норми прибутковості використовується наступна формула

(3.17)

де IP – інфляційна премія.

Приклад. Інвестору обіцяно 40% прибутковості на 1000 грн., які він вкладає. При цьому очікуваний темп інфляції складає 20%. Визначити рівень реальної прибутковості цієї інвестиції.

Використовуючи формулу (4.17), отримаємо

Через інфляцію вводяться два поняття:

1. Номінальна вартість грошей FV_н – обсяг грошової маси, яка буде отримана інвестором у майбутньому через певний термін за умови, що норма прибутковості за контрактом складає r.

(3.18)

2. Реальна вартість грошей FV_p – це величина грошової маси, що була б отримана інвестором у припущенні, що ціни не змінюються і темп інфляції дорівнює 0. Для розрахунку реальної вартості грошей проводиться наступне коректування

У результаті, остаточно отримаємо:

. (3.19)

Приклад. Інвестору запропоновано вкласти 200000 грн. на 2 роки при нормі прибутковості 40%, очікуваний темп інфляції складає 30%. Яка оцінка реальної вартості очікуваного доходу інвестора?

Отже дохід складе 31952,66 грн.

Нехай усупереч чеканню річний темп інфляції склав 45%. Тоді реальна сума грошей інвестора дорівнюватиме

Таким чином, інвестор отримає збитки в розмірі 13556 грн.

Звідси можна зробити висновок, що інфляція «з'їла» не тільки дохід, але й основну суму.

У такому випадку можливо 3 результати:

1. r > ? (тобто. норма прибутковості більша темпу інфляції) – природний шлях інвестування грошей, гроші приносять дохід, незважаючи на інфляцію;

2. r = τ – інфляція «з'їдає» тільки дохід; інвестувати безглуздо, краще вкласти гроші в реальні активи, що зберігають свою вартість;

3. r < τ – інфляція «з'їдає» і дохід, і основний капітал, необхідно вкладати гроші в нерухомість.

Розглянемо більш складний приклад, коли темп інфляції не є постійним щорічно. Нехай інвестор вкладає гроші на 2 роки при нормі прибутковості 10%. Очікуваний темп інфляції за перший рік – 15%, за другий рік – 20%. Визначити номінальний доход інвестора від цього вкладення.

,

або, по іншому,

.

Таким чином, доход інвестора склав 669,8 грн.

3.3.4. Нарощення та дисконтування потоків грошових сум. У реальній практиці, як правило, приходиться мати справу не з одиничними сумами, а з деякими потоками грошових сум, які регулярно підприємство реальне виплачує або отримує. Грошовий потік прийнято зображати на тимчасовій лінії, як це показано на малюнку.

Елемент грошового потоку прийнято позначати CF_k (від Cash Flow), де k - номер періоду, у якому розглядається грошовий потік. Дійсне значення грошового потоку позначено PV (Present Value), а майбутнє значення - FV (Future Value).

Нарощення грошових потоків здійснюється за допомогою багаторазового використання формули (4.7):

,

або

. (3.20)

Приклад. Після впровадження заходу щодо зниження адміністративних витрат підприємство планує отримати економію $1000 за рік. Зекономлені гроші передбачається розміщувати на депозитний рахунок (під 5% річних) для того, щоб через 5 років накопичені гроші використовувати для інвестування. Яка сума виявиться на банківському рахунку підприємства?

Вирішимо задачу з використанням тимчасової лінії.

Таким чином, через 5 років підприємство накопичить $5526, які зможе інвестувати.

У даному випадку грошовий потік складається з однакових грошових сум щорічно. Такий потік називається ануїтетом. Для обчислення майбутнього значення ануїтету використовується формула

, (3.21)

яка випливає з (3.20) при CF_k = const.

Розрахунок майбутнього значення ануїтету можемо обчислити за допомогою спеціальних фінансових таблиць. Фрагмент цих таблиць розміщений у додатку (таблиця 2). Зокрема, за допомогою таблиці 2 при r = 5% і n = 5, отримаємо множник 5,526, який відповідає результату розрахунку даного прикладу.

Для довільного значення відсоткової ставки можна скористатися наступною кінцевою формулою для нарощення ануїтету, яку легко отримати шляхом підсумку спадаючої геометричної прогресії:

. (3.21')

Дисконтування грошових потоків здійснюється шляхом багаторазового використання формули (4.8), що в остаточному підсумку приводить до наступного виразу:

,

або

. (3.22)

Приклад. Розглянемо грошовий потік з неоднаковими елементами CF₁=100, CF₂=200, CF₃=200, CF₄=200, CF₅=200, CF₆=0, CF₇=1,000, для якого необхідно визначити сучасне значення (при показнику дисконту 6%). Рішення проводимо за допомогою тимчасової лінії:

Обчислення дисконтованих значень окремих сум можна робити шляхом використання таблиці 3, яка розміщена в додатку.

Дисконтування ануїтету (CF_j = const) здійснюється за формулою

. (3.23)

Для розрахунку теперішнього (сучасного) значення ануїтету можна використати таблицю 4 додатку або наступне кінцеве співвідношення:

. (3.23')

Приклад. Підприємство придбало облігації муніципальної позики, які приносять йому дохід $15 000, і хоче використати ці гроші для розвитку власного виробництва. Підприємство оцінює прибутковість інвестування одержуваних щороку $15 000 у 12%. Необхідно визначити дійсне значення цього грошового потоку.

Рішення проведемо за допомогою таблиці:

Рік	Множник при 12% дисконтування	Потік грошей	Теперішнє значення
1	0,893	$15000	$13395
2	0,797	$15000	$11955
3	0,712	$15000	$10680
4	0,636	$15000	$9540
5	0,567	$15000	$8505
	3,605	$75000	$54075

За результатами розрахунків ми бачимо, що

• дисконтуване значення грошового потоку істотно менше арифметичної суми елементів грошового потоку,

• чим далі ми заходимо у час, тим менше теперішнє значення грошей: $15000 через рік, коштують зараз $13395; $15000 через 5 років, коштують зараз $8505.

Задача може бути вирішена також за допомогою таблиці 4 додатки. При r = 12% і n = 5 по таблиці знаходимо множник дисконтування 3,605.

Сучасне значення нескінченного (за часом) потоку коштів визначається за формулою:

, (3.24)

яку отримуємо шляхом підсумовування нескінченного ряду, обумовленого формулою (3.23) при .

3.3.5. Порівняння альтернативних можливостей вкладення коштів за допомогою техніки дисконтування та нарощення. Техніка оцінки вартості грошей у часі дозволяє вирішити ряд важливих задач порівняльного аналізу альтернативних можливостей вкладення грошей. Розглянемо цю можливість на наступному прикладі.

Приклад. Комплексне пояснення до тимчасової вартості грошей. Розглянемо потік $1000, який генерується якою-небудь інвестицією протягом 3 років. Розрахункова норма прибутковості інвестування коштів підприємства складає 10%.

r = 10%

Спробуємо послідовно відповісти на ряд питань, які пов'язані з різними ситуаціями щодо цього потоку і його використання.

Питання 1. Яка сучасна вартість цього потоку?

Питання 2. Яка майбутня вартість $2486,85 на кінець 3 року? (тобто, якби ми вклали гроші в банк під r = 10% річних)?

Питання 3. Яка майбутня вартість потоку коштів на кінець 3-го року?

Ми отримали однакові відповіді на друге та трете питання. Висновок очевидний: якщо ми інвестуємо в який-небудь бізнес $2486,85 і ця інвестиція генерує заданий потік грошей $1000; $1000; $1000, то на кінець 3-го року ми отримаємо ту ж суму грошей $3310, якщо б просто вклали $2486,85 у фінансові інструменти під 10% річних.

Нехай тепер величина інвестиції складає $2200, а генеруючий потік такий ж, що приводить до кінця 3-го року до $3310.

Інвестування $2200 у фінансові інструменти під 10% дасть, мабуть, . Виходить, нам більш вигідно інвестувати в даному випадку в реальний бізнес, а не у фінансові інструменти.

Питання 4. Як зміниться ситуація, якщо норма прибутковості фінансового вкладення грошей r стане вище, наприклад, 12%.

Як і раніше ми інвестуємо $2486,85 у бізнес, і це приводить до потоку коштів $1000 щороку протягом 3-х років. Сучасне значення цього потоку:

зменшилося і стало менше вихідної суми інвестицій $2486,85.

Порівняємо майбутнє значення вихідної суми $2486,85 і потоку коштів, який генерує інвестування цієї суми в бізнес:

;

Висновки, які можна зробити на основі порівняння цих значень такі:

a) інвестування суми $2486,85 у фінансові інструменти під 12% річних приведе до $3493,85 через 3 роки;

б) інвестування суми $2486,85 у бізнес, що генерує грошовий потік $1000 щороку протягом 3-х років, приведе до $3374,40 до кінця 3-го року.

Очевидно, що при нормі прибутковості 12% інвестувати в бізнес не вигідно.

Даний висновок має просте економічне пояснення. Справа в тому, що інвестування грошей у фінансові інструменти починає приносити дохід відразу ж, починаючи з першого року. У той же час, інвестування грошей у реальні активи дозволяє одержати першу $1000 тільки до кінця першого року, і вона приносить фінансовий дохід тільки протягом двох останніх років. Іншими словами, має місце запізнювання строків початку віддачі у випадку інвестування реальні активи в порівнянні з інвестицією у фінансові інструменти. І якщо при нормі прибутковості 10 відсотків обидва варіанти вкладення грошей рівносильні в значенні кінцевої суми “зароблених” грошей, то збільшення норми прибутковості робить інвестицію у фінансові інструменти більш вигідною.

Повернемося до кількісного порівняння ефективності альтернативного вкладення грошей. Розглянемо, наскільки вигідніше вкладати гроші у фінансові інструменти в порівнянні з реальними інвестиціями в двох проміжках часу: момент часу “зараз” і кінець третього року.

На даний час потік коштів від реальної інвестиції складає $2401,83 при вихідній інвестиції $2486,85. Виходить, що фінансова інвестиція вигідніша на $85. До кінця третього року фінансова інвестиція принесе $3493,85, а реальна інвестиція - $3374,40. Різниця складає $119,45. Варто підкреслити, що це розходження також відповідає концепції вартості грошей у часі, тобто продисконтувавши $119,45 при 12 відсотках ми закономірно отримаємо $85.