- •Задача № 1.
- •Задача № 2.
- •Задача № 3.
- •Задача № 4.
- •Задача № 5.
- •Задача № 6.
- •Задача № 7.
- •Задача № 8.
- •Задача № 9.
- •Задача № 10.
- •Задача № 11.
- •Задача № 12.
- •Задача № 13.
- •Задача № 14.
- •Задача № 15.
- •Задача № 16.
- •Задача № 17.
- •Задача № 18.
- •Задача № 19.
- •Задача № 20.
- •Задача № 21.
- •Задача № 22.
- •Задача № 23.
- •Задача № 24.
- •Задача № 25.
- •Задача № 26.
- •Задача № 27.
- •Задача № 28.
- •Задача № 29.
- •Задача № 30.
- •Задача № 31.
- •Задача № 32.
- •Задача № 33.
- •Задача № 34.
- •Задача № 35.
- •Задача № 36.
- •Задача № 37.
- •Задача № 38.
- •Задача № 39.
- •Задача № 41.
- •Задача № 42.
- •Задача № 43.
- •Задача № 44.
- •Задача № 45.
- •Задача № 46.
- •Задача № 47.
- •Задача № 48.
- •Задача № 49.
- •Задача № 50.
- •Задача № 51.
Задача № 23.
Частица находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Координаты x и y частицы лежат в пределах 0 < x < a, 0 < y < b, где a и b – стороны ямы. Определите вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в области:
a) ; б) ; в) .
Решение:
Частица находится в потенциальной яме, имеющей следующий вид (рисунок 1):
Рисунок 8
Составим уравнение Шредингера для области :
(1)
или в виде:
(2)
где . Решение дифференциального уравнения (2) имеет вид:
(3)
Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Так как вне области частица находиться не может, то её пси-функция вне области равна нулю. Тогда из условия непрерывности пси-функций:
С учётом этих условий пси-функция примет вид:
(4)
Найдём вторые производные по x и по y от пси-функции:
(5)
Подставим их в уравнение Шредингера (2):
(6)
Учитывая, что , получим:
(7)
Мы получили энергетический спектр частицы. Значит, в потенциальной яме энергия частицы имеет определённые дискретные значения, которые определяются выражением (7). В состоянии с наименьшей энергией оба квантовых числа равны единице .
Для того, чтобы определить постоянную А в выражении для пси-функции (4) воспользуемся условием нормировки:
(8)
Пси-функция имеет вид:
(9)
Пси-функция основного состояния :
(10)
Плотность вероятности нахождения частицы в единице объёма равно квадрату модуля пси-функции:
(11)
Найдём вероятности нахождения частицы в областях:
a)
б)
в)
Ответ:
а) 9.1%, б) 9.1%, в) 0.8%.
Задача № 24.
Частица находится в двумерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками во втором возбуждённом состоянии. Сторона ямы равна а. Определите вероятность нахождения частицы в области:
а) ; б) ; в) .
Решение:
Частица находится в потенциальной яме, имеющей следующий вид:
Составим уравнение Шредингера для области :
(1)
или в виде:
(2)
где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
(3)
Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Вне области частица находиться не может, поэтому её пси-функция вне области равна нулю. Используя условие непрерывности, получим:
Тогда пси-функция примет вид:
(4)
Найдём вторые производные от пси-функции по x и по y:
(5)
Подставим эти производные в уравнение Шредингера (2):
(6)
Учитывая, что , получим:
(7)
Мы получили энергетический спектр частицы, находящейся в квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Из выражения (7) видно, что энергия частицы зависит от двух квантовых чисел и . В таблице 1 приведены несколько возможных значений и и соответствующее им , которое определяет значение энергии.
Таблица 1.
№ уровня |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
5 |
2 |
1 |
||
3 |
2 |
2 |
8 |
Как видно из таблицы, некоторые энергетические уровни вырождены, то есть существует несколько состояний, описываемых различными пси-функциями, но имеющими одно и то же значение энергии. Второму возбуждённому состоянию соответствуют квантовые числа (так как соответствует основному состоянию, второй уровень – первое возбуждённое состояние, третий – второе возбуждённое состояние).
Определим константу A в выражении для пси-функции (4), используя условие нормировки:
(8)
Тогда пси-функции собственных состояний имеют вид:
(9)
Во втором возбуждённом состоянии:
(10)
Найдём функцию плотности вероятности нахождения частицы в единице объёма:
(11)
Теперь определим искомые вероятности:
а)
б)
в)
Ответ:
а) 19.55%; б) 19.55%; в) 3.8%.