- •Задача № 1.
- •Задача № 2.
- •Задача № 3.
- •Задача № 4.
- •Задача № 5.
- •Задача № 6.
- •Задача № 7.
- •Задача № 8.
- •Задача № 9.
- •Задача № 10.
- •Задача № 11.
- •Задача № 12.
- •Задача № 13.
- •Задача № 14.
- •Задача № 15.
- •Задача № 16.
- •Задача № 17.
- •Задача № 18.
- •Задача № 19.
- •Задача № 20.
- •Задача № 21.
- •Задача № 22.
- •Задача № 23.
- •Задача № 24.
- •Задача № 25.
- •Задача № 26.
- •Задача № 27.
- •Задача № 28.
- •Задача № 29.
- •Задача № 30.
- •Задача № 31.
- •Задача № 32.
- •Задача № 33.
- •Задача № 34.
- •Задача № 35.
- •Задача № 36.
- •Задача № 37.
- •Задача № 38.
- •Задача № 39.
- •Задача № 41.
- •Задача № 42.
- •Задача № 43.
- •Задача № 44.
- •Задача № 45.
- •Задача № 46.
- •Задача № 47.
- •Задача № 48.
- •Задача № 49.
- •Задача № 50.
- •Задача № 51.
Задача № 15.
Свободно движущаяся нерелятивистская частица имеет относительную неопределённость кинетической энергии порядка . Оцените, во сколько раз неопределённость координаты такой частицы больше её дебройлевской длины волны.
Решение:
Пусть - абсолютная неопределённость кинетической энергии. Тогда неопределённость импульса частицы:
(1)
Воспользуемся первым соотношением неопределённостей Гейзенберга:
(2)
Найдём неопределённость координаты частицы:
(3)
Пусть кинетическая энергия частицы равняется , тогда импульс частицы . Длина волны де Бройля частицы равняется:
(4)
Найдём отношение неопределённости координаты частицы к её дебройлевской длине волны:
(5)
Отношение - это относительная неопределённость кинетической энергии частицы. Таким образом, .
Ответ:
.
Задача № 16.
Используя соотношение неопределённостей энергии и времени, определите естественную ширину спектральной линии излучения атома при переходе его из возбуждённого состояния в основное. Среднее время жизни атома в возбуждённом состоянии , а длина волны излучения .
Решение:
Воспользуемся соотношением неопределённостей Гейзенберга энергии и времени:
(1)
В нашем случае - среднее время жизни атома в возбуждённом состоянии. Поэтому неопределённость энергии при переходе из возбуждённого состояния в основное:
(2)
Учитывая, что , определим ширину спектральной линии:
(3)
Длина волны и частота излучения связаны следующим соотношением:
(4)
Продифференцируем (4) и получим следующее выражение:
(5)
Прейдём к конечным приращениям и опустим знак минус, так как он показывает только то, что при увеличении частоты длина волны излучения уменьшается, поэтому в нашем случае он не существенен:
(6)
Ответ:
.
Задача № 17.
Частица массой движется в потенциальном поле, в котором её потенциальная энергия равна (гармонический осциллятор). Оцените с помощью соотношения неопределённостей минимально возможную энергию частицы в этом поле.
Решение:
Энергия частицы равняется:
(1)
где - среднее значение энергии частицы, а - неопределённость энергии. Из выражения (1) видно, что минимальное значение энергии частицы, в случае , равняется по порядку величины её неопределённости . В этом случае неопределённость импульса частицы:
(2)
С наибольшей степенью вероятности частица находится в области местонахождения классического осциллятора , где - амплитуда колебаний классического осциллятора, которую определим, решая следующее уравнение:
(3)
где .
Неопределённость частицы в этом потенциальном поле . Воспользуемся первым соотношением неопределённостей Гейзенберга:
(4)
Подставляя в уравнение (4) выражения, полученные для неопределённостей импульса и координаты, получим:
(5)
Это значение соответствует нулевой энергии квантового гармонического осциллятора.
Ответ:
.