32Емпірична функція розподілу.

Нехай маємо статистичний розподіл вибірки обсягу . Позначимо - кількість спостережень, при яких спостерігали значення ознаки менше числа . Відносна частота події буде . Із зміною змінюється і відносна частота, тобто відносна частота є функцією від .

Функцією розподілу вибірки називають функцію , яка визначає для кожного значення відносну частоту події : = , (1)

де - число варіант, менших .

Її ще називають емпіричною функцією розподілу, оскільки вона шукається емпіричним (дослідним) шляхом.

Функцію розподілу генеральної сукупності називають теоретичною функцією розподілу.

Теоретична функція розподілу визначає ймовірність події , а емпірична функція - відносну частоту цієї події.

Із закону великих чисел, зокрема з теореми Бернуллі, випливає, що відносна частота події збігається за ймовірністю до ймовірності цієї події, тобто

Іншими словами, для великих значень емпірична функція розподілу наближено представляє теоретичну функцію розподілу генеральної сукупності.

Із означення емпіричної функції розподілу маємо такі її властивості:

. .

. - неспадна функція.

. =0 при , =1 при ,

де , - найменша і найбільша варіанти.

33. Розподіл Фішера - Снедекора

У цілому ряді задач, вирішуваних математичною статистикою,

зокрема у дисперсійному і кореляційно - регресійному аналізі ,

використовується "розподіл Б", названий так по перший літері

прізвища англійського статистика-математика Р. Фішера. Якщо И1 і

И2 незалежні випадкові величини з розподілами % , і з і ^

ступенями вільності відповідно, то випадкова змінна. Б буде

... Я? : у, П уг ґ = -1-1 = -- х-.

И : V И V дорівнювати: 2 ■ 2 2 1

Одержана величина називається випадковою змінною з

розподілом Фішера-Снедекора з1^ та ^ ступенями вільності.

Приймаючи, що и1 ^2 величина Б буде мати лише значення, не

менше як І.

Щільність імовірності випадкової змінної Б , яка має розподіл Фішера -Снедекора з ^ і ^ ступенями вільності, має вигляд:

Н(Р) =-2-у±-р 2 (1 + Р) 2

Внаслідок великої складності розрахунку інтегралів доведення тут не наводиться. Але, як видно, розподіл Б зумовлений і визначається двома параметрами, тобто числами ступенів вільності ^ і у2. Розподіл випадкової змінної Б подано у вигляді спеціальних математичних таблиць. Останні побудовані так, щоб для різних рівнів довірчої ймовірності (в основному для Р = 0,95; Р = 0,99, Р = 0,999) і для різних сполучень числа ступенів вільності у1 і у2 даються значення Б. Якщо прийняти позначення розрахункової і табличної

величини Б відповідно як рр і рт , то для них справедлива буде рівністьр^р^Рт}~а; Такі таблиці наведено в додатках 8, і 9. Практичне їх використання буде розглянуто у розділах "Дисперсійний аналіз"; "Кореляційно - регресійний аналіз"; "Методи багатомірного статистичного аналізу". Тут наведемо лише схематичний приклад.

Приклад. Вивчивши кількісний вплив фактора рівня продуктивність праці на її оплату по вибірці 60 підприємств, одержані наступні характеристики:

факторна дисперсія *~ 3,06, залишкова дисперсія аг = 0,15. Число ступенів

вільності для факторної ознаки у* = 3 - I =2; для неврахованих факторів 60 -

3 = 57.

Розрахункова величина і - критерію становитиме: 0.15 .

За стандартною таблицею Р - розподілу знаходимо для рівня ймовірності

Р =0,95 і ступенів вільності У1=2.і ^ = 57 табличне значення Рт = 3,15 ; Рр>Тг (20.4 >3,15).

Знайдені параметри свідчать про те, що в досліджуваних підприємствах вплив рівня продуктивність праці на її оплату виявився вірогідним із рівнем імовірності 0,95.

На закінчення відзначимо, чому розподіл і називають розподілом Фішера- Снедекора. Справа в тому, що Р.Фішер перший дослідив розподіл відношень двох вибіркових дисперсій, але предметом його вивчення був розподіл не відношень дисперсій, а

логарифмічної величини 2 °2 Дещо пізніше американський

статистик Дж.Снедекор розрахував таблиці розподілу змінної ( °2) , що виявилося значно зручніше для практичного використання в розрахунках. Цей розподіл він назвав на честь Фішера "Розподілом Р". Пізніше даний вид розподілу почали називати "Розподілом Фішера-Снедекора".