22Густина розподілу (щільність імовірності).

Нехай є неперервна випадкова величина з неперервною та диференційованою функцією розподілу .

Густиною ймовірності називається похідна від функції розподілу випадкової величини.

Функція характеризує щільність, з якою розподіляються значення випадкової величини в даній точці. Інколи називають диференціальною функцією розподілу, або диференціальним законом розподілу.

Терміни “щільність розподілу” або “щільність ймовірності” особливо показові при вживанні механічної інтерпретації розподілу. Тобто, буквально характеризує щільність розподілу маси по , так звану лінійну щільність. Крива, що відображає щільність розподілу випадкової величини, називається кривою розподілу.

Розглянемо закони розподілу і щільність їх ймовірностей, що найбільш часто зустрічаються:

1) Нормальний закон (закон Гаусса)

Щільність імовірності випадкових величин задається формулою:

,

де — математичне сподівання

— середнє квадратичне відхилення.

2) Рівномірний розподіл

3) Показниковий закон

,

де

.

4) Якщо неперервна випадкова величина приймає тільки додатні значення, а щільність ймовірності визначається

,

де >0

то закон розподілу називається законом Максвела.

5) Закон Ст’юдента

,

де к – параметр розподілу – значення гама функції, яка визначається:

, при

– збігається, так як

6) Закон розподілу визначається щільністю ймовірності

де k – параметр розподілу.

7) Гама-розподіл має щільність ймовірностей

,

В теорії та на практиці зустрічаються випадкові величини, розподілені і по інших законах.

23. Випадкової величиною називається величина, яка в результаті досвіду може прийняти те чи інше значення, причому заздалегідь невідомо яке саме.

Випадкові величини, що приймають тільки окремі один від одногозначення, які можна заздалегідь перерахувати, називаються перериваним абодискретними випадковими величинами.

Випадкові величини, можливі значення яких безперервно заповнюютьдеякий проміжок, називають безперервними випадковими величинами.

Наприклад:

1. Число тих, що вижили і померлих хворих.

2. Загальна кількість дітей з надійшли за ніч до лікарні хворих.

Випадкові величини, можливі значення яких безперервно заповнюютьдеякий проміжок, називають безперервними випадковими величинами.

24. Потоком подій називається послідовність подій, які відбуваються одна за одною у випадкові моменти часу. Наприклад, потік заявок, що надходить до підприємства побутового обслуговування, потік викликів до телефонної станції, потік відказів (збоїв) під час роботи на ПЕОМ тощо. Середня кількість подій, які відбуваються за одиницю часу, називається інтенсивністю потоку.

Потік називається найпростішим, якщо він має такі властивості:

стаціонарність — імовірність того, що за деякий проміжок часу t відбудеться та чи інша кількість подій, залежить лише від довжини проміжку і не залежить від початку його відліку, тобто інтенсивність потоку стала;

відсутність післядії — імовірність настання деякої кількості подій на довільному проміжку часу не залежить від того, яка кількість подій відбулась до початку цього проміжку;

ординарність — імовірність настання двох і більше подій за малий проміжок часу t істотно менша за ймовірність того, що відбудеться одна подія.

Якщо потік подій найпростіший, то ймовірність того, що за проміжок часу t подія А настане m раз, визначається формулою: де — інтенсивність потоку. Ця формула відбиває всі властивості найпростішого потоку, а отже, є його математичною моделлю.

25. Дискретна випадкова величина ξ називається такою, що має біноміальний розподіл, якщо її ймовірність набуття конкретних значень має вигляд: , де p, n — параметри, що визначають розподіл, .

Позначається .

26 За значеннями показників асиметрії і ексцесу розподілу можна судити про близькість розподілу до нормального, що буває суттєво важливо для оцінки результатів кореляційного та регресійного аналізу, можливостей ймовірнісної оцінки прогнозів (див. глави 7,8,9). Розподіл можна вважати нормальним, а точніше кажучи - не відкидати гіпотезу про подібність фактичного розподілу з нормальним, якщо показники асиметрії і ексцесу не перевищують своїх дворазових середніх квадратичних відхилень СТЦ, і <т. Ці середні квадратичні відхилення обчислюються за формулами:

27

Функцією розподілу випадкової величини Y називається функція F(x), яка виражає для кожного X ймовірність того, що Y прийме яке-небудь значення менше заданого.

F(x) – постійна на інтервалах та має скачки в точках, що відповідають її значенням.

1. Властивості функції розподілу.

Теорема 1. Ймовірність того, що випадкова величина Y прийме значення , що належить відрізку [ ], дорівнює прирощенню її функції розподілу на цій ділянці, тобто:

Теорема 2. Функція розподілу будь–якої випадкової величини являє собою неспадну функцію і змінюється від 0 до 1, при зміні x від , тобто:

29. Нормальний розподіл (розподіл Ґауса) — розподіл ймовірностей випадкової величини, що характеризується густиною ймовірності

де μ — математичне сподівання, σ² — дисперсія випадкової величини.

Центральна гранична теорема стверджує, що нормальний розподіл виникає тоді, коли дана випадкова величина являє собою суму великого числа незалежних випадкових величин, кожна з яких грає в утворенні всієї суми незначну роль. Наприклад, відстань від влучення снаряду гармати до цілі при великій кількості пострілів характеризується саме нормальним розподілом.

Нормально розподілена випадкова величина позначається так: ξ∼N(μ,σ²).

28. Задачі математичної статистики Основними задачами математичної статистики є статистична перевірка гіпотез, оцінка розподілу статистичних імовірностей та його параметрів, вивчення статистичної залежності, визначення основних числових характеристик випадкових вибірок, якими є: вибіркове середнє, вибіркові дисперсії, стандартне відхилення. Математичну статистику використовують також при розв'язанні теоретичних і практичних задач кібернетики.

№ 30 Властивість ординарності потоку подій

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события.

Итак, если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Вопрос №31. Кореляційний момент …… випадкових величин Х і У

Між випадковими величинами X і У може виникати зв'язок. Кореляційний момент Х і Y характеризує силу або щільність зв'язку. Відомо, якщо між випадковими величинами існує ймовірний зв'язок (залежність), то зі зміною випадкової величини X змінюється закон розподілу випадкової величини У. В той же час закон розподілу задають кривою розподілу у = . Характер кривих може бути різним, тому і відрізняють декілька типів імовірної залежності. Одним із найбільш розповсюджених типів є кореляційна залежність, за якої заміна аргументу х призводить до зміни математичного сподівання величини у. В першому випадку ми маємо прямолінійну кореляцію. При дослідженнях можуть виникнути й інші типи кореляційної залежності.