Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
шпоры по физике.docx
Скачиваний:
16
Добавлен:
06.08.2019
Размер:
770.95 Кб
Скачать

17. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции, ее применение для расчета магнитного поля в бесконечном соленоиде.

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому поток вектора В через замкнутую поверхность должен быть равен нулю. Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S имеет место условие . Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора В : поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. Заменив поверхностный интеграл объемным, получим, что .

У словие, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю. Таким образом, магнитное поле обладает тем свойством, что

его дивергенция всюду равна нулю: .

Найдем циркуляции вектора В. По определению циркуляция равна интегралу .

Проще всего вычислить этот интеграл в случае поля прямого тока. Пусть замкнутый контур лежит в плоскости, перпендикулярной к току (рис. ; ток перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен за чертеж). В каждой точке контура вектор В направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку. Заменим в выражении для циркуляции В dl через В dlB (dlB — проекция элемента контура на направление вектора В).

Из рисунка видно, что dlB равно b dα, где b — расстояние от провода с током до dl, dα — угол, на который поворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на отрезок dl. Таким образом, для В, получим

Окончательно будем иметь

При обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая все время поворачивается в одном направлении, поэтому .

Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. 49.1 ,б). В этом случае при обходе по контуру радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (участок 1—2), а затем в противоположном (участок 2—1), вследствие чего равен нулю. Учтя этот результат, можно написать , где под I следует подразумевать ток, охватываемый контуром. Если контур тока не охватывает, циркуляция вектора В равна нулю. Знак в выражении зависит от направления обхода по контуру (в этом же направлении отсчитывается угол α).

Если направление обхода образует с направлением тока правовинтовую систему, величина положительна, в противном случае — отрицательна. Знак можно учесть, полагая I алгебраической величиной, причем положительным нужно считать ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным Поле соленоида

Соленоид представляет собой провод, навитый на круглый цилиндрический каркас. Линии В поля соленоида выглядят пример но так, как показано на рис. 50.1.

В нутри соленоида направление этих линий образует с направлением тока в витках правовинтовую систему. У реального соленоида имеется составляющая тока вдоль оси. Кроме того, линейная плотность тока jлин (равная отношению силы тока dI к элементу длины соленоида dl) изменяется периодически при перемещении вдоль соленоида. Среднее значение этой плотности равно , где n— число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины I — сила тока в соленоиде.

В соответствии со сказанным представим соленоид в виде бесконечного тонкостенного цилиндра (отсутствует осевая составляющая тока и, кроме того, линейная плотность тока jлин постоянна по всей длине), обтекаемого током постоянной линейной плотности jлин=nI.

Разобьем цилиндр на одинаковые круговые токи—«витки». Из.рис. видно, что каждая пара витков, расположенных симметрично относительно некоторой плоскости, перпендикулярной к оси соленоида, создает в любой точке этой плоскости магнитную индукцию, параллельную оси. Следовательно, и результирующее поле в любой точке внутри и вне бесконечного соленоида может иметь лишь направление, параллельное оси. Из рис. 50.1 вытекает, что направле-ния поля внутри и вне конечного со-леноида противоположны. При увели-чении длины соленоида направления полей не изменяются и в пределе при противоположными. Для бес-конечного соленоида, как и для ко-нечного, направление поля внутри соленоида образует с направлением обтекания цилиндра током правовин-товую систему. Из параллельности вектора В оси вытекает, что поле как внутри, так и вне бесконечного соле-ноида должно быть однородным. Что-бы доказать это, возьмем внутри соле-ноида воображаемый прямоугольный контур 1—2—3—4 (рис. 50.3; участок 4—1 идет по оси соленоида). Обойдя контур по часовой стрелке, получим для циркуляции вектора В значение (B2 –B1)α. Контур не охватывает токов, поэтому циркуляция должна быть равна нулю.

Отсюда следует, что B1=B2. Располагая участок контура 2—3 на любом расстоянии от оси, мы каждый раз будем получать, что магнитная индукция В2 на этом расстоянии равна индукции B1 на оси соленоида. Таким образом, однородность поля внутри соленоида доказана. Теперь обратимся к контуру 1'—2'—3'—4'. Мы изобразили векторы B`1и В`2 штриховой линией, поскольку, поле вне бесконечного соленоида равно нулю. Контур 1'—2'—3'—4'не охватывает токов; поэтому циркуляция вектора В' по этому контуру, равная (B`1-В`2 )α, должна быть равна нулю.

Отсюда вытекает, что B`1= В`2 . Расстояния от оси соленоида до участков /' — 4' и 2' — 3' были взяты произвольно. Следовательно, значение В' на любом расстоянии от оси будет вне соленоида одно и то же. Таким образом, оказывается доказанной и однородность поля вне соленоида.

Циркуляция по контуру, изображенному на рис. 50.4 (Сав. 150), равна α(В+В') (для обхода по часовой стрелке). Этот контур охватывает положительный ток величины jлин α.

Должно выполняться равенство (после сокращения на α и замены). Из этого равенства следует, что поле как внутри, так и снаружи бесконечного соленоида является конечным. Возьмем плоскость, перпендикулярную к оси соленоида (рис. 50.5 Сав 151). Вследствие замкнутости линий В магнитные потоки через внутреннюю часть S этой плоскости и через внешнюю часть S' должны быть одинаковыми. Поскольку поля однородны и перпендикулярны к плоскости, каждый из потоков равен произведению соответствующего значения магнитной индукции и площади, пронизываемой потоком. Таким образом, получается соотношение BS=B'S'. Левая часть этого равенства конечна, множитель S' в правой части бесконечно большой. Отсюда следует, что В'=0.

Итак, мы доказали, что вне бесконечно длинного соленоида магнитная индукция равна нулю. Внутри соленоида поле однородно.

Положив В'=0, придем к формуле для магнитной индукции внутри соленоида: . Произведение nI называется числом ампер-витков на метр. При n = 1000 витков на метр и силе тока в 1 А магнитная индукция внутри соленоида составляет 4π10-4 Тл (Тесла) =4π Гс (Гаусса).

В магнитную индукцию на оси соленоида симметрично расположенные витки вносят одинаковый вклад. Поэтому у конца полубесконечного соленоида на его оси магнитная индукция равна половине значения : .

Практически, если длина соленоида значительно больше, чем его диаметр, формула будет справедли-ва для точек в средней части соленои-да, а формула — для точек на оси вблизи его концов.