Интерполяционные полиномы Эрмита

- принимают значения и в некоторых точках Число условий удваивается. Но постановка задачи сохраняется. Будем искать многочлены и такие, что при

если они найдены, то имеет место

Определим Если и и , то должен содержать множитель

Если , а ,то должен содержать простой множитель :

Аналогичным образом можно получить . Для необходимы множители чтобы и . Но для того, чтобы и возьмём множитель в виде , тогда

Взяв производную от и положив , получим

(1)

По условиям , т.е. . Из (1) , где . И, наконец,

Возможно приближение в точках i по n производным. Оба рассмотренных метода справедливы для произвольного расположения точек. Для равноотстоящих значений аргумента формулы несколько упрощаются. В практических расчётах чаще используется именно этот случай.

Интерполяционная формула Ньютона.

Удобна тем, что позволяет легко изменить количество используемых узлов. Применима для произвольного расположения узлов.

Имеем точек через которые проходит многочлен Запишем , где многочлен степени (при из ), а . Поэтому остаются точки .

И, следовательно, если должен проходить через точки проходит через точку .

- разделённая разность первого порядка.

В свою очередь , откуда получаем разделённую разность второго порядка.

а. - функции берутся в тех же точках, в знаменателе – разность их.

б. - функции берутся в тех же точках, в знаменателе – разность их.

в. Если аргументы переставить, то везде. Берётся и текущее I, как в рассматриваемом случае.

В общем случае

Таким образом

Особенно наглядно использование формулы Ньютона видно из таблицы. Знаком * обозначены опорные значения, необходимые для вычисления многочлена.

Составим таблицу:

		*
				*

Первые разделённые разности – близки к первым производным в интервале между узловыми точками. Вторые разделённые разности близки ко вторым производным и т.д.

Для равноотстоящих значений аргумента формула Ньютона приобретает следующий вид.

Пусть и . Обозначим .

(*) -для интерполирования “вперёд”

-для интерполирования “назад”

Получим аналог рядя Тейлора. Для полиномов степени n он конечен.

Иногда требуются узлы функции определять, исходя из (требуемой, задачной) точности. Общие соображения здесь таковы, что следует удерживать x близким к какому-нибудь узлу.

Можно поставить задачу минимизации произведений . Но это возвращает нас к только что высказанному соображению.

Структура разностей группируется относительно опорных значений. Чтобы понять смысл формулы (*) проделаем следующее.

Введём разность и .Пусть фиксировано. Рассмотрим вторую разность

Для разделённых разностей имеем:

Производные приближаются в точках

посредине между используемыми узлами.

Граничные значения аргументов обеспечивают использование того или иного способа интерполяции (вперёд - назад).

Итерационно – интерполяционный метод Эйткена.

- используется для вычисления многочлена, без его аппроксимации с применением итерации. Пусть интерполяционный многочлен, определяемый парами точек:

так что в этих точках он совпадает с , т.е. .

Можно составить следующею таблицу линейной интерполяции многочленов (от точки к точке):

(*)

(**)

Процесс вычислений заканчивается, если у значений двух интерполяционных многочленов последовательных степеней совпадает требуемое количество знаков. Ясно, что метод применим для таблично заданных функций.

Логика построения интерполяционных многочленов такова, что сначала проводится линейная интерполяция между соответствующими точками и для функций и ,

Что видно по формуле (*). Точно также весь ряд этих формул (строка) даёт линейную интерполяцию между соответствующими точками. Далее следует линейная интерполяция (**) по трём точкам, но с учётом полученных выражений функции, т.е. практически квадратичная интерполяция по трём точкам.

И далее процесс повторяется, вовлекая в расчёт большее количество точек и повышая степень интерполяционного полинома.