- •Т.О., если определен корень характеристического уравнения, то можно понизить на единицу степень полинома и приступить к решению уравнения:
- •Идентификаторы совпадают для переменных: .
- •Приближенное значение производной можно записать: т.К. , то далее процесс итераций х следует повторить до достижения величиной заданной точности е. В общем виде алгоритм запишется :
- •1. Какие узлы использовать.
- •Интерполяционные полиномы Эрмита
- •Сплайны
- •Методы поиска экстремума функции многих переменных.
- •Метод покоординатного спуска (Гаусса – Зейделя)
- •Метод прямого поиска (конфигураций).
- •Градиентные методы.
- •Наискорейший спуск
- •Метод дфп
1. Какие узлы использовать.
2. Какой класс приближенных функций использовать.
3. Какой критерий согласия будет применён.
4. Какая точность требуется.
1. Чаще всего используются равноудалённые узлы.
2. а. В инженерных расчётах обычно используют прямую, либо квадратичную
параболу. Реже многочлены более высокой степени, т.е. используют линейные комбинации
б. Гармонические функции: sin - этот класс используют в рядах и интегралах Фурье;
в. Показательные функции - .
3. Точное соответствие (совпадение в узлах).
4. Совпадение результатов до 3, 4 знаков.
Б. Кроме аналитического “представления” таблиц, мы уже рассмотрели представление графической информации. Т.е. это два главных применения интерполяционных формул. Наряду с задачей определения значений между узлами столь же актуальна задача определения значений функции за одним из граничных узлов (левым или правым), где сетка
е щё не сформирована. В этом случае можно говорить об экстраполяции функции. При этом используются обычные формулы интерполяции.
При использовании граничных условий (при численном решении уравнений в частных производных) приходится использовать различные формулы (схемы) интерполяции для сохранения точности вычислений (вперёд, назад, центральные).
Указанная задача может усложнится, если требуется “прослеживать” в процессе расчётов перемещения границы расположения различных сред в динамике, т.е. во времени. Например, в газовой динамике необходимо определять расположение скачка уплотнения и его перемещение. Сказанное относится к математическим моделям, описанным дифференциальными уравнениями в частных производных. “ Передний фронт” вычислительной математики в настоящее время располагается в сфере таких задач. Если дифференциальные уравнения обыкновенные, не имеют пространственного измерения, у них одна независимая переменная – время, то для выше указанных классов задач характерна двух – трёхмерная постановка задач.
Чаще такие математические модели принадлежат объектам управления. Но и среди элементов систем управления есть такие, которые описываются уравнениями в частных производных.
Соответственно и интерполяция требуется по двум – трём координатам.
Рассмотрим задачу интерполяции в такой постановке, Имеем
1. Пусть известное значение в точках: . Тогда легко получить систему уравнений (в n+1 точке)
Система имеет решение относительно , т.к. определитель Вандермонда
где
отличен от нуля при всех (нет двух равных строк). Задача имеет множество решений. Аналитическое выражение получено, но выбор точек произволен.
2. Можно потребовать, чтобы многочлен степени n (f(x)) проходил через фиксированные точки (равноотстоящие и не равноотстоящие). Введём понятие – разделённые разности – это разности функций в некоторых точках отнесённые к разности аргументов в этих точках:
|
f(x) |
f |
f |
f |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Удобно разности функции получать в соответствии с таблицей. Затем берётся отношение к разности аргументов.
Метод интерполяции Лагранжа.
Рассмотрим функцию:
Она принимает значение 1 в точке и 0 когда в точке . Поэтому многочлен проходит через узловые точки.
Допустим , тогда . Возможны следующие пути исследования формулы:
а. использование “в лоб”.
Полином 3-й степени.
б. использование “барицентрической формулы”. Разделим правую часть формулы Лагранжа на , т.к. f(x)=1, если все
обозначим = , поделим числитель и знаменатель на , получим кроме (i j) =