численные методы
.docx1.Что такое Численные методы?
Численные методы – математическая дисциплина, изучающая методы приближённого решения математических задач, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами. Численные методы сводят решение математических задач, которые могут быть проведены как в ручную, так и с помощью ЭВМ
2.Перечислите типичные задачи численных методов.
1)Решение уравнений
2)Численное интегрирование
3)Решение дифференциальных уравнений
3.Что такое абсолютная и относительная погрешность вычислений.
Если - точное значение некоторой величины, а - известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближения называют обычно некоторую величину , про которую известно, что она удовлетворяет неравенству:
Относительной погрешностью называют некоторую величину , про которую известно, что она удовлетворяет неравенству:
Относительную погрешность часто выражают в процентах. Она дает более точное представление о величине ошибки, содержащейся в некоторой величине.
4. Что такое интерполяция функции?
Интерполяцией функции f(x) называется замена ее функцией F(x) определенного класса, совпадающей с f(x) в точках xk. При этом точки xk называются узлами интерполяции.
Геометрически интерполяция заключается в проведении графика интерполирующей функции F(x) через узловую точку: (x0, F(x0)), (x1, F(x1)),…, (xn, F(xn))
5. Прямой метод интерполяции.
Пусть в точка х0, х1 известны значения функций у(х): у0, у1, .., уn. Требуется построить многочлен F(х) такой что
F(x0) = y0
F(x1) = y1
F(xn) = yn Степень многочлена F(x) не должна быть выше n
F(x) имеет вид:
F(x) = a0 + a1x + a2x^2 +…+ anx^n
a0 + a1x0 + a2x0^2 +…+ anx0^n = y0
a0 + a1x1 + a2x1^2 +…+ anx1^n = y1
a0 + a1xn + a2xn^2 +…+ anxn^n = yn
неизвестный а1,..,an
Получим систему из n-линейных уравнений с n-неизвестными.
Такая система имеет единственное решение, т.е. коэффициенты многочлена а0, а1, …, an могут быть найдены единственным образом.
6. Понятие об интерполяционном многочлене Лагранжа. Достоинства и недостатки.
Основная идея этого метода состоит в том, чтобы, прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Он имеет вид:
Ln(х) =
Т. к. при i = j, то – корень многочлена . Тогда делится на (х - ) при i = j. Таким образом многочлен может быть = Const *
Найдём const в этом многочлене:
, тогда = 1
Const =
= подставим в Ln(х)
Ln(х) = или
Ln(х) = *
Достоинство – метод наиболее прост в понимании и организации вычислительного процесса, относится к числу итерационных методов и имеет наибольшую точность интерполяции, использование многочленов невысокого порядка и вследствие этого малым накоплением погрешностей в процессе вычислений.
Недостаток метода – при увеличении числа узлов и соответственно степени интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново, медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени. 7. Интерполяционный многочлен Ньютона. Достоинства и недостатки.
Можно построить интерполяционный многочлен степени n в виде
Многочлен должен проходить через узлы интерполирования, т.е.
= yi = f(xi) (i = 1,2, ………..n).
Причём
х = х0 ; = y0 = а0 . Отсюда а0 = y0 . х = х1; = y0 + а1h, где
Аналогично можно получить значения и остальных коэффициентов многочлена
; ………………….. , ,…………. - конечные разности до n-ого порядка. В общем случае конечные разности можно представить (i = 1,2, ………..n-1). = (i = 1,2, ………..n-1) и разность порядка к ……………………………………. (i = 1,2, ………..n-1).
Если в интерполяционный многочлен подставить значения коэффициентов, то будет получен первый интерполяционный многочлен Ньютона
Достоинство: она удобна тем, что число используемых узлов может быть легко увеличено или уменьшено без повторения всего вычисления.
Недостаток: К недостатку формулы Ньютона можно отнести то, что при вычислениях в таблице с постоянным шагом при увеличении количества узлов не всегда удается добиться повышения точности вычислений.
8. Что такое конечные разности?
Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании.
Рассмотрим интерполяционную задачу для функции :
где - шаг интерполяции
Конечной разностью 1-го порядка называют разность между двумя соседними значениями в узлах интерполяции, то есть
Конечной разностью 2-го порядка называют разность между двумя соседними конечными разностями 1-го порядка, то есть
Конечной разностью порядка (для ) называют разность между двумя соседними конечными разностями порядка , то есть
9. Понятие об интерполировании сплайнами.
Spline – планка, рейка.
Сплайн – лекало, гибкая металлическая линейка.
Сплайн - функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим многочленом. Т.о. сплайн – это функция, собранная из различных функций одного вида.
Чаще всего используются кубические сплайны. В сплайне фрагменты стыкуются гладко.
() = ()() = ()
() = ()
() = () – это условие совпадения кусков в граничащих точках
10. Что такое аппроксимация?
Аппроксимация (от лат. approximo — приближаюсь), замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны).
11. Два этапа численного решения уравнений: отделение и уточнение корней.
12. Метод половинного деления или дихотомии.
Пусть дано уравнение f(x) = 0, имеющее на отрезке [a,b] один корень. В качестве начального приближения корня х0 рассмотрим середину отрезка [a,b] : х0 = (b + a) / 2
13. Методы численного интегрирования. Их связь с определением определённого интеграла.
14. Описание методов прямоугольников.
Формула левых прямоугольников.
Формула правых прямоугольников.
Формула средних прямоугольников.
15. Метод трапеций.
16. Метод парабол.
17. Сравнение методов численного интегрирования.
Методы левых и правых прямоугольников являются методами первого порядка точности по степени h
Соответственно метод средних прямоугольников и метод трапеций второго порядка точности
Сравнив методы прямоугольников и трапеций с методом Симпсона, отметим, что последний обладает более высоким порядком точности – четвертым.