Раздел3

1)Случайной функцией называют функцию неслу­чайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Слу­чайные функции аргумента t обозначают прописными буквами X (t), Y (t) и т. д.

Например, если U—случайная величина, то функция Х(t) =t²U — случайная.

2)Случайным (стохастическим) процессом называют слу­чайную функцию аргумента t, который истолковывается как время. Например, если самолет должен лететь с за­данной постоянной скоростью, то в действительности вследствие воздействия случайных факторов (колебание температуры, изменение силы ветра и др.), учесть влияние которых заранее нельзя, скорость изменяется. В этом примере скорость самолета – случайная функция от непрерывно изменяющегося аргумента (времени), те скорость есть случайный процесс.

3) хз 4) Важнейшим классом случайных процессов, встречающихся на практике,

является класс стационарных случайных процессов. Случайный процесс

называется стационарным в узком смысле, если его многомерная функция

распределения (и, следовательно, числовые характеристики) не зависит от

начала отсчета времени, т.е. от сдвига всех сечений вправо или влево на

один и тот же интервал времени t.

Иногда случайный процесс называют стационарным в широком смысле,

если приведенные условия выполняются лишь для числовых характеристик.

Узкое и широкое определения стационарности не тождественны. Случайные

процессы, стационарные в узком смысле, всегда стационарны в широком

смысле, но не наоборот.

Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

5) Моме́нт случа́йной функции — числовая характеристика распределения данной случайной функции. (мат ожидание, дисперсия)

атематическое ожидание с. п. При фиксированном значении t сечение X(t) является случайной величиной. Пусть для любого t T существует математическое ожидание М[X (t)].

Математическим ожиданием с.п. X (t) называется неслучайная функция от времени t

m_X (t) = М[X (t)].

 

Свойства математического ожидания с. п. Пусть X(t), Y(t) случайные процессы, (t) неслучайная функция, С константа.

 

1. m (t) = (t).

2. m_X+Y (t) = m_X (t) + m_Y (t).

3. m_СХ (t) = Сm_X (t).

4. m_XY (t) = m_X (t)m_Y (t), если сечения X (t), Y (t) некоррелированы при каждом .

5. m_X (t) = (t)m_X (t).

3. Дисперсия с.п. Пусть при каждом фиксированном t для сечения X(t) определена дисперсия D[X(t)].

Дисперсией с.п. X(t) называется неслучайная функция от времени t

D_X (t)=D[X (t)].

Среднеквадратическим отклонением с.п. X(t) называется величина

 

Свойства дисперсии с.п. Пусть X(t), Y(t) случайные процессы, (t) неслучайная функция, С константа.

 

1. D_X (t) 0.

2. D (t) = 0.

3. D_X (t) = ( (t))²D_X (t).

4. D_+X (t) = D_X (t).

D_X+Y (t) = D_X (t) + D_Y (t), если сечения X(t), Y(t) некоррелированы при каждом .

Корреля́ция (корреляционная зависимость) — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин.

Корреляционная функция — функция времени или пространственных координат, котораязадает корреляцию в системах со случайными процессами.

Зависящая от времени корреляция двух случайных функций X(t) и Y(t) определяется, как

,

где угловые скобки обозначают процедуру усреднения.

Если корреляционная функция вычисляется для одного и того же процесса, она называется автокорреляционной:

.

Аналогично, можно вычислить корреляционную функцию для процессов, происходящих в разных точках пространства в различные моменты времени:

.

Корреляционные функции широко используются в статистической физике и других дисциплинах, изучающих случайные (стохастические) процессы.

Автокорреляция — статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса — со сдвигом по времени.

Автокорреляционная функция.

В обработке сигналов автокорреляционная функция (АКФ) определяется интегралом:

и показывает связь сигнала (функции  ) с копией самого себя, смещённого на величину τ.

В теории случайных функций АКФ является корреляционным моментом двух значений одной случайной функции  :

Здесь  , а   — математическое ожидание.

График автокорреляционной функции можно получить, отложив по оси ординат коэффициент корреляции двух функций (базовой и функции сдвинутой на величину τ) а по оси абсцисс величину τ. Если исходная функция строго периодическая, то на графике автокорреляционной функции тоже будет строго периодическая функция. Таким образом, из этого графика можно судить о периодичности базовой функции, а следовательно и о её частотных характеристиках. 

6) Понятие об эргодичности случайного процесса.

Условием эргодичности стационарного процесса, является требование, чтобы функция корреляции процесса с увеличением  t = t₂– t₁ стремилась к нулю.

Для эргодического процесса одна из произвольно выбранных реализаций при достаточно большом времени может дать достаточно хорошее представление о всем процессе.

7) Корреляционная ф-ия стационарного случайного процесса

На практике часто встречаются случайные процессы, протекающие однородно во времени. Они имеют вид непрерывных случайных колебаний вокруг неслучайного значения.  Амплитуда и характер колебаний в среднем не меняются со временем, такие процессы называются стационарными. Например: колебание напряжения, давление газа в газопроводе, колебание самолета вокруг центра тяжести.  У стационарного с.п. X(t) все вероятностные характеристики не должны зависеть от времени.  Рассмотрим одномерную плотность распределения стационарного случайного процесса f(t,x). Так как эта плотность не зависит от того, где взято сечение t, то имеет место равенство f(t1,x) = f(t2,x) = … = f(x)

Зная одномерную плотность стационарного с.п. X(t), можно найти его м.о. и дисперсию: , . Таким образом, у стационарного с.п. математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, не зависящими от времени.

Рассмотрим n сечений стационарного с.п. X(t), взятых в моменты времени t1, t2, …, tn; n-мерную плотность распределения можно записать в виде: fn( t1, t2, … , tn; x1, x2,…,xn ). Очевидно, что если с.п. является стационарным, то эта n-мерная плотность распределения не изменится при сдвигу всех аргументов на одинаковую величину τ fn( t1, t2, … , tn; x1, x2,…,xn ) = fn( t1 + τ, t2 + τ, … , tn + τ; x1, x2,…,xn ).

Случайный процесс X(t) называется стационарным в узком смысле, если его n-мерная плотность распределения не изменяется при сдвиге всех его аргументов на одинаковую произвольную величину τ.

Обозначим τ = t2 – t1, тогда f2(t1, t2, x1, x2) = f2(τ, x1, x2). Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание постоянно (mx = const), а корреляционная функция есть функция сдвига между аргументами: Kx(t1,t2) = Kx(τ).

Свойства корреляционной функции стационарного процесса:

1. Kx(τ) = Kx(-τ)

2. Kx(0) = Dx

3. | Kx(τ)| ≤ Dx

8) Представление о спектральной плотности шумов (флактуаций).

23