Теорема 3. Монотонность вероятности.
Если событие В включает в себя событие А или эти события равны, то вероятность появления события А меньше или равна вероятности появления события В.
Статистическое определение вероятности: Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу практически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота А определяется формулой:
(2)
где m-число появлений события, n-общее число испытаний.
Сопоставляя определение вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.
Пример 2. Из 80 случайно выбранных сотрудников 3 человека имеют серьезные нарушения сердечной деятельности. Относительная частота появления людей с больным сердцем
В качестве статической вероятности принимают относительную частоту или число, близкое к ней.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (статистическим определением вероятности). Число, к которому стремится устойчивая относительная частота, называется статистической вероятностью этого события.
Основные теоремы:
Суммой A + B событий A и B называется событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.
Пример 1. Пусть А - идет дождь, B - идет снег, тогда (А + В) - либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки; А - пошли на дискотеку; B - пошли в библиотеку, тогда (А + В) - пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку, т. е. вышли из дома.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
P (A + B) = P(A) + P(B). |
(2.1) |
Пример 2. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.
Вероятность появления красного шара (событие А)
P (A) = 10/30 = 1/3.
Вероятность появления синего шара (событие В)
P (В) = 5/30 = 1/6.
События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.
По формуле 2.1 искомая вероятность
P (A + B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 1/2.
Теорема. Сумма вероятностей событий A1, A2, …, An , образующих полную группу, равна единице:
P(А1) + P(А2) + ... + P(Аn) = 1. |
(2.2) |
Противоположными называют
два единственно возможных события,
образующих полную группу. Если одно из
двух противоположных событий обозначено
через А,
то другое принято обозначать 
.
Пример 3. Если при бросании кости событие А состоит в выпадении 6, то противоположное событие – это невыпадение 6, т.е. выпадение 1, 2, 3, 4 или 5.
Пример 4: если А - число четное, то - число нечетное; если А - зима, то - не зима (либо осень, либо лето, либо весна); если А - сдал экзамен, то - не сдал экзамен.
Пространство исходов иногда удобно изображать в виде прямоугольника, каждая точка которого соответствует элементарному событию. Это позволяет рассматривать произвольное событие А как подмножество пространства исходов (рис. 1).
Если исход испытания попадает в множество А, то говорят что в результате испытания событие А произошло, иначе что произошло противоположное событие (рис. 2).
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
|
P(А) + P( ) = 1. |
(2.3) |