Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерия согласия Пирсона.

Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предлагаемом законе распределения.

Критерий согласия Пирсона (критерий проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности):

1) По выборке объема n построить статический ряд:

2) Вычислить по таблице оценку математического ожидания и выборочное среднее квадратическое ожидание σ_в.

3) В предположении нормального распределения генеральной совокупности вычислить теоретические частоты m_{1 теор},…,m_{l теор} по формуле: m_{i теор.}=np_i, где , Ф(х) – интегральная функция распределения Лапласа.

4) Вычислить число по формуле: или

5) По табл. 5 приложения найти число , учитывая заданный уровень значимости α и число степеней свободы k=l-3.

6) Сравнить число и :

• если < , то нет основания отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности;

• если > , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности следует отвергнуть.

• Корреляционная зависимость. Нахождение параметров уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов. Выборочно я коэффициент корреляции, его свойства.

Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распреде­ления другой. В частности, статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой; в этом случае ста­тистическую зависимость называют корреляционной.

Корреляция в математической статистике, вероятностная или статистическая зависимость, не имеющая, вообще говоря, строго функционального характера. В отличие от функциональной, корреляционная зависимость возникает тогда, когда один из признаков зависит не только от данного второго, но и от ряда случайных факторов или же когда среди условий, от которых зависят и тот и другой признаки, имеются общие для них обоих условия.

Метод наименьших квадратов применяется для нахождения оценок неиз­вестных параметров функциональной зависимости y=f{x), вид которой пред­полагается известным. Пусть на опыте получено k пар результатов измерений (х_i, уi), где i=l, 2,..., k. Предположим, что зависимость между X и Y близка к линейной. В этом случае естественно искать зависимость у=ах+b.

Рассмотрим оценку по методу наименьших квадратов парамет­ров а и b.Из условия минимума суммы

эти оценки вычисляют по формулам:

(4.5)

(4.6)

Если предположить, что независимы, М( )=0, D( )= и полагая , можно показать, что оценки параметров а и b линейной регрессии, полученные методом наименьших квадратов, определяют по формулам:

Из этих равенств следует, что

Таким образом, оценки а*,b* являются несмещенными оценками параметров а и b. Оценки а* и b* состоятельны, если при k ->оо, так как в этом случае D(a*)-»0, D(b*)-»0.

Выборочный коэффициент корреляции r

где ,

Выборочный коэффициент корреляции r является оценкой коэффициента корреляции генеральной совокупности и поэтому служит для измерения линейной связи между величинами – количественными признаками Y и X.

r имеет свойства 1,3 коэффициента r, что позволяет использовать его как меру линейной связи между х и у:

1)

3) r = 1 тогда и только тогда, когда между x и y существует линейная зависимость.

В самом деле, если r = 1, то дискриминант трехчлена f(a) равен нулю, и существует единственный корень уравнения f(a) = 0, обозначим его ао. Тогда , выражение под знаком математического ожидания равно нулю, то есть или .

Обратно, если y линейно выражается через x: