Вариант 4
Часть 2
C1 Решите уравнение
Ответ: , где
Решение:
Баллы |
Критерии оценивания задания С1 |
2 |
Обоснованно получен правильный ответ |
1 |
Верно составлена равносильная исходному уравнению система условий, все тригонометрические уравнения решены верно, но или не произведён отбор найденных решений или допущены ошибки в отборе решений |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
Примечание: любая ошибка в решении уравнения оценивается в 0 баллов.
C2 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все ребра которой равны, найдите угол между прямыми КМ и ТЕ , где точка К – середина ребра АА1 , точка М – середина ребра АВ , точка Т – середина ребра А1 В1 , а точка Е – середина ребра СС1 .
Ответ:
Решение: обозначим через Р середину ребра ВВ1 , прямая ТР параллельна КМ , поэтому искомый угол равен углу ЕТР . Пусть ребро призмы равно а , тогда
Проведем ЕН перпендикулярно РТ.
Баллы |
Критерии оценивания задания С2 |
2 |
Обоснованно получен правильный ответ |
1 |
Способ нахождения искомого угла правильный, но получен неверный ответ или решение не закончено |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
C3 Решите систему неравенств
Ответ:
Решение: найдём ОДЗ исходной системы неравенств. Первое неравенство перепишем в виде . Возведём обе части в квадрат: . С учётом ОДЗ получим: . Второе неравенство перепишем в виде . С учётом ОДЗ получим:
. Решением исходной системы неравенств будет промежуток .
Баллы |
Критерии оценивания задания С3 |
3 |
Обоснованно получен правильный ответ |
2 |
Все шаги решения выполнены. Дано верное и обоснованное решение одного из неравенств исходной системы, но при в целом правильном решении другого неравенства исходной системы допущена одна вычислительная ошибка |
1 |
Дано верное и обоснованное решение одного из неравенств исходной системы |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
C4 В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АС , причём АК : КС = 2 : 3 . Точка М делит сторону АВ на два отрезка, один из которых вдвое больше другого. Прямая, проходящая через точку М параллельно ВС , пересекает прямую ВК в точке Р . Найдите отношение ВР : КР .
Ответ: 5 : 4 или 10 : 1
Решение:
1-й случай. Пусть АМ : МВ = 2 : 1 . Обозначим МВ = b , АК = 2а . Тогда АМ = 2b , и КС = 3а . Пусть МТ параллельно ВС , точка Т лежит на АС . Тогда АТ : ТС = АМ : МВ = 2 : 1 , поэтому АТ = , ТС = и КТ = . Поэтому ВР : КР = ТС : КТ = 5 : 4 .
2-й случай. Пусть АМ : МВ = 1 : 2 . Обозначим АМ = b , АК = 2а . Тогда ВМ = 2b , и КС = 3а . Пусть МТ параллельно ВС , точка Т лежит на АС . Тогда АТ : ТС = АМ : МВ = 1 : 2 , поэтому АТ = , ТС = и КТ = . Поэтому ВР : КР = ТС : КТ = 10 : 1 .
Баллы |
Критерии оценивания задания С4 |
3 |
В приведённом решении рассмотрены оба случая, и в каждом из них обоснованно получен верный ответ |
2 |
В приведённом решении только в одном случае дано обоснование и получен верный ответ |
1 |
В приведённом решении рассмотрен только один случай, при этом не дано обоснование или допущена вычислительная ошибка |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
C5 Найдите все значения параметра а , при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.
Ответ: или
Решение: раскроем модуль и преобразуем исходную систему уравнений. Получим:
.
Условия задают на координатной плоскости «уголок» с вершиной в точке (3 , 2) и лучами и , идущими вправо от точки (3 , 2) . Уравнение задаёт прямую, проходящую через точку (5 , 6) с угловым коэффициентом а . Поэтому исходная система уравнений имеет единственное решение тогда, когда прямая проходит через вершину (3 , 2) «уголка», или когда прямая пересекает ровно один из лучей «уголка». Первому случаю соответствует , а второму – условие .
Баллы |
Критерии оценивания задания С5 |
4 |
Обоснованно получен правильный ответ |
3 |
Решение в целом верное и обоснованное, но допущена одна вычислительная ошибка или описка |
2 |
Ход решения в целом верный, но в решении содержатся существенные ошибки (например, не рассмотрен случай ) |
1 |
Имеется некоторое существенное продвижение в решении задачи (например, дана геометрическая интерпретация обоих уравнений системы) |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
C6 Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:
а) найдётся ли такая арифметическая прогрессия из четырёх различных целых чисел, что некоторые её три члена, будучи расположены в определённом порядке, образуют геометрическую прогрессию?
б) найдутся ли пять различных целых чисел, четыре из которых, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а другие четыре из этих пяти, будучи расположены в некотором порядке, образуют геометрическую прогрессию?
в) найдутся ли четыре различных целых числа, которые, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а будучи расположены в некотором другом порядке, образуют геометрическую прогрессию?
Ответ: а) да ; б) да ; в) нет
Решение:
а) да, например, числа -2 , 1 , 4 , 7 образуют арифметическую прогрессию, а числа 1 , -2 , 4 образуют арифметическую прогрессию.
б) да, например, числа -8 , -2 , 1 , 4 , 10 . Причём числа -8 , -2 , 4 , 10 образуют арифметическую прогрессию, а числа 1 , -2 , 4 , -8 образуют геометрическую прогрессию.
в) нет. Действительно, пусть четыре целых числа, расположенные в определённом порядке, образуют геометрическую прогрессию. Тогда знаменатель этой прогрессии является рациональным числом, а сама последовательность имеет вид: , , , , где , , причём числа m и n не имеют общих делителей, а число k делится нацело на , . Но целые числа , , , ни в каком порядке не могут образовывать арифметическую прогрессию. Это следует из того, что сумма любых двух из них не равна сумме двух других, так как , и (в каждом из случаев три числа делятся на m , а одно не делится).
Баллы |
Критерии оценивания задания С6 |
4 |
Даны вполне обоснованные ответы на все три вопроса |
3 |
Даны обоснованные ответы на все три вопроса, но при ответе на вопрос в) допущена неточность в обосновании |
2 |
Даны обоснованные ответы на два вопроса |
1 |
Дан обоснованный ответ на один из вопросов |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |