Вариант 2

Часть 2

C1 Решите уравнение

Ответ: , где

Решение: , где

Баллы	Критерии оценивания задания С1
2	Обоснованно получен правильный ответ
1	Верно составлена равносильная исходному уравнению система условий, все тригонометрические уравнения решены верно, но или не произведён отбор найденных решений или допущены ошибки в отборе решений
0	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Примечание: любая ошибка в решении уравнения оценивается в 0 баллов.

C2 В прямоугольном параллелепипеде АВСТА₁В₁С₁Т₁ с рёбрами АВ = АТ = 12 и АА₁ = 3 найдите расстояние от точки А до плоскости А₁ВТ .

Ответ:

Решение. Обозначим через О точку пересечения диагоналей основания АВСТ . АО ВТ , так как АВСТ – квадрат, по теореме о трех перпендикулярах, поэтому ВТ перпендикулярна плоскости . Проведем АН , тогда АН плоскости , АН – искомое расстояние.

Баллы	Критерии оценивания задания С2
2	Обоснованно получен правильный ответ
1	Способ нахождения искомого угла правильный, но получен неверный ответ или решение не закончено
0	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C3 Решите систему неравенств

Ответ:

Решение: рассмотрим первое неравенство системы. Введем новую переменную . Получаем неравенство .

Следовательно, и . При второе неравенство системы равносильно неравенству

, которое верно при всех . При второе неравенство равносильно неравенству , которое верно только при .

Баллы	Критерии оценивания задания С3
3	Обоснованно получен правильный ответ
2	Все шаги решения выполнены. Дано верное и обоснованное решение одного из неравенств исходной системы, но при в целом правильном решении другого неравенства исходной системы допущена одна вычислительная ошибка
1	Дано верное и обоснованное решение одного из неравенств исходной системы
0	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C4 В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АС , причём АК : КС = 3 : 4 . Точка М делит сторону АВ на два отрезка, один из которых вдвое больше другого. Прямая, проходящая через точку М параллельно ВС , пересекает прямую ВК в точке Р . Найдите отношение ВР : КР .

Ответ: 7: 5 . или 7 : 1 .

Решение:

1-й случай. Пусть АМ : МВ = 2 : 1 . Обозначим МВ = b , АК = 3а . Тогда АМ = 2b , и КС = 4а . Пусть МТ параллельно ВС , точка Т лежит на АС . Тогда АТ : ТС = АМ : МВ = 2 : 1 , поэтому АТ = , ТС = и КТ = . Поэтому ВР : КР = ТС : КТ = 7: 5 .

2-й случай. Пусть АМ : МВ = 1 : 2 . Обозначим АМ = b , АК = 3а . Тогда ВМ = 2b , и КС = 4а . Пусть МТ параллельно ВС , точка Т лежит на АС . Тогда АТ : ТС = АМ : МВ = 1 : 2 , поэтому АТ = , ТС = и КТ = . Поэтому ВР : КР = ТС : КТ = 7 : 1 .

Баллы	Критерии оценивания задания С4
3	В приведённом решении рассмотрены оба случая, и в каждом из них обоснованно получен верный ответ
2	В приведённом решении только в одном случае дано обоснование и получен верный ответ
1	В приведённом решении рассмотрен только один случай, при этом не дано обоснование или допущена вычислительная ошибка
0	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C5 Найдите все значения параметра а , при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.

Ответ: или

Решение: раскроем модуль и преобразуем исходную систему уравнений. Получим:

.

Условия задают на координатной плоскости «уголок» с вершиной в точке (2, 3) и лучами и , идущими вправо от точки (2 , 3) . Уравнение задаёт прямую, проходящую через точку (4 , 7) с угловым коэффициентом а. Поэтому исходная система уравнений имеет единственное решение тогда, когда прямая проходит через вершину (2 , 3) «уголка», или когда прямая пересекает ровно один из лучей «уголка». Первому случаю соответствует , а второму – условие .

Баллы	Критерии оценивания задания С5
4	Обоснованно получен правильный ответ
3	Решение в целом верное и обоснованное, но допущена одна вычислительная ошибка или описка
2	Ход решения в целом верный, но в решении содержатся существенные ошибки (например, не рассмотрен случай )
1	Имеется некоторое существенное продвижение в решении задачи (например, дана геометрическая интерпретация обоих уравнений системы)
0	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C6 Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:

а) найдётся ли такая геометрическая прогрессия из четырёх различных целых чисел, что некоторые её три члена, будучи расположены в определённом порядке, образуют арифметическую прогрессию?

б) найдутся ли шесть различных целых чисел, пять из которых, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а другие пять из этих шести, будучи расположены в некотором порядке, образуют геометрическую прогрессию?

в) найдутся ли четыре различных целых числа, которые, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а будучи расположены в некотором другом порядке, образуют геометрическую прогрессию?

Ответ: а) да ; б) да ; в) нет

Решение:

а) да, например, числа 1 , -2 , 4 , -8 образуют геометрическую прогрессию, а числа -2 , 1 , 4 образуют арифметическую прогрессию.

б) да, например, числа -8 , -2 , 1 , 4 , 10 , 16 . Причём числа -8 , -2 , 4 , 10 , 16 образуют арифметическую прогрессию, а числа 1 , -2 , 4 , -8 , 16 образуют геометрическую прогрессию.

в) нет. Действительно, пусть четыре целых числа, расположенные в определённом порядке, образуют геометрическую прогрессию. Тогда знаменатель этой прогрессии является рациональным числом, а сама последовательность имеет вид: , , , , где , , причём числа m и n не имеют общих делителей, а число k делится нацело на , . Но целые числа , , , ни в каком порядке не могут образовывать арифметическую прогрессию. Это следует из того, что сумма любых двух из них не равна сумме двух других, так как , и (в каждом из случаев три числа делятся на m , а одно не делится).

Баллы	Критерии оценивания задания С6
4	Даны вполне обоснованные ответы на все три вопроса
3	Даны обоснованные ответы на все три вопроса, но при ответе на вопрос в) допущена неточность в обосновании
2	Даны обоснованные ответы на два вопроса
1	Дан обоснованный ответ на один из вопросов
0	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше