Вариант 3
Часть 2
C1 Решите уравнение .
Укажите корни, принадлежащие промежутку .
Ответ: , где . Промежутку принадлежат корни , и .
Решение: разделим на и сделаем замену . Получим: , где . Промежутку принадлежат корни , и .
Баллы |
Критерии оценивания задания С1 |
2 |
Верно решено уравнение и верно произведён отбор корней |
1 |
Верно решено уравнение, но неверно отобраны корни, принадлежащие указанному промежутку. Или верно отобраны корни уравнения, принадлежащие данному промежутку, но общее решение уравнения не указано |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
C2 В правильной шестиугольной призме ABCТEНA1B1C1Т1E1Н1 , все ребра которой равны, найдите угол между плоскостью основания и прямой, проходящей через середины АВ и Н1Т1 .
Ответ:
Решение: обозначим через М середину отрезка АВ , через К – середину отрезка , через Р – середину отрезка НТ . Угол КМР – искомый. Пусть ребро призмы равно а , тогда ВР = , ВМ = , . По теореме косинусов находим . Поэтому
Баллы |
Критерии оценивания задания С2 |
2 |
Обоснованно получен правильный ответ |
1 |
Способ нахождения искомого угла правильный, но получен неверный ответ или решение не закончено |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
C3 Решите систему неравенств
Ответ:
Решение: рассмотрим первое неравенство системы:
Теперь рассмотрим второе неравенство исходной системы при найденных ограничениях на х :
Баллы |
Критерии оценивания задания С3 |
3 |
Обоснованно получен правильный ответ |
2 |
Все шаги решения выполнены. Дано верное и обоснованное решение одного из неравенств исходной системы, но при в целом правильном решении другого неравенства исходной системы допущена одна вычислительная ошибка |
1 |
Дано верное и обоснованное решение одного из неравенств исходной системы |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
C4 В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АС , причём АК : КС = 3 : 4 . Точка М делит сторону АВ на два отрезка, один из которых втрое больше другого. Прямая, проходящая через точку М параллельно ВС , пересекает прямую ВК в точке Р . Найдите отношение ВР : КР .
Ответ: 7 : 9 или 21 : 5
Решение:
1-й случай. Пусть АМ : МВ = 3 : 1 . Обозначим МВ = b , АК = 3а . Тогда АМ = 3b , и КС = 4а . Пусть МТ параллельно ВС , точка Т лежит на АС . Тогда АТ : ТС = АМ : МВ = 3 : 1 , поэтому АТ = , ТС = и КТ = . Поэтому ВР : КР = ТС : КТ = 7 : 9 .
2-й случай. Пусть АМ : МВ = 1 : 3 . Обозначим АМ = b , АК = 3а . Тогда ВМ = 3b , и КС = 4а . Пусть МТ параллельно ВС , точка Т лежит на АС . Тогда АТ : ТС = АМ : МВ = 1 : 3 , поэтому АТ = , ТС = и КТ = . Поэтому ВР : КР = ТС : КТ = 21 : 5 .
Баллы |
Критерии оценивания задания С4 |
3 |
В приведённом решении рассмотрены оба случая, и в каждом из них обоснованно получен верный ответ |
2 |
В приведённом решении только в одном случае дано обоснование и получен верный ответ |
1 |
В приведённом решении рассмотрен только один случай, при этом не дано обоснование или допущена вычислительная ошибка |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
C5 Найдите все значения параметра а , при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.
Ответ: , .
Решение: раскроем модуль и преобразуем исходную систему уравнений. Получим:
.
Условия задают на координатной плоскости «уголок» с вершиной в точке (2 , 3) и лучами и , идущими вверх от точки (2 , 3) . Уравнение задаёт прямую, проходящую через точку (6 , 5) с угловым коэффициентом 1/а при и x = 6 при а = 0 . .Поэтому исходная система уравнений имеет единственное решение тогда, когда прямая проходит через вершину (2 , 3) «уголка», или когда прямая пересекает ровно один из лучей «уголка». Первому случаю соответствует , а второму – условие .
Баллы |
Критерии оценивания задания С5 |
4 |
Обоснованно получен правильный ответ |
3 |
Решение в целом верное и обоснованное, но допущена одна вычислительная ошибка или описка |
2 |
Ход решения в целом верный, но в решении содержатся существенные ошибки (например, не рассмотрен случай ) |
1 |
Имеется некоторое существенное продвижение в решении задачи (например, дана геометрическая интерпретация обоих уравнений системы) |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
C6 Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:
а) найдутся ли три различных целых числа, которые, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а будучи расположены в некотором другом порядке, образуют геометрическую прогрессию?
б) найдутся ли шесть различных целых чисел, пять из которых, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а другие пять из этих шести, будучи расположены в некотором порядке, образуют геометрическую прогрессию?
в) найдутся ли четыре различных целых числа, которые, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а будучи расположены в некотором другом порядке, образуют геометрическую прогрессию?
Ответ: а) да ; б) да ; в) нет
Решение:
а) да, например, числа 1 , -2 , 4 образуют геометрическую прогрессию, а эти же числа, но в другом порядке -2 , 1 , 4 образуют арифметическую прогрессию.
б) да, например, числа -8 , -2 , 1 , 4 , 10 , 16 . Причём числа -8 , -2 , 4 , 10 , 16 образуют арифметическую прогрессию, а числа 1 , -2 , 4 , -8 , 16 образуют геометрическую прогрессию.
в) нет. Действительно, пусть четыре целых числа, расположенные в определённом порядке, образуют геометрическую прогрессию. Тогда знаменатель этой прогрессии является рациональным числом, а сама последовательность имеет вид: , , , , где , , причём числа m и n не имеют общих делителей, а число k делится нацело на , . Но целые числа , , , ни в каком порядке не могут образовывать арифметическую прогрессию. Это следует из того, что сумма любых двух из них не равна сумме двух других, так как , и (в каждом из случаев три числа делятся на m , а одно не делится).
Баллы |
Критерии оценивания задания С6 |
4 |
Даны вполне обоснованные ответы на все три вопроса |
3 |
Даны обоснованные ответы на все три вопроса, но при ответе на вопрос в) допущена неточность в обосновании |
2 |
Даны обоснованные ответы на два вопроса |
1 |
Дан обоснованный ответ на один из вопросов |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |