Контрольная 4 вариант 7
.docКонтрольная работа №4
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1)Вычислить: 1-3) производную ; 4) производные и ; 5) в данной точке x0 (x0); 6) производную n-го порядка для данной функции y(x).
1) 2)
3) 4)
5) , x0=1; 6)
Решение.
1) ;
2) воспользуемся правилами вычисления производной произведения и производной сложной функции:
.
3) Сначала прологарифмируем, а затем возьмем производную от обеих частей.
;
Тогда
.
4) Возьмем производную от обеих частей равенства
, т.е. .
Снова возьмем производную . Подставляя в последнее равенство выражение для первой производной, получим
.
5) Последовательно найдем третью производную
;
;
.
Вычислим значение третьей производной в точке x0=1.
.
6)
.
2)Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, вычислить значение функции с точностью до 0,001.
.
Решение.
Выпишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
и положим в ней, ,
Т.к. , то используя выражение для остаточного члена в форме Лагранжа, можно найти значение n, требуемое для получения заданной точности.
;
;
.
Из последнего неравенства следует, что для определения требуемой точности достаточно взять n = 2. Тогда
;
.
3)Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение.
Найдем производную
.
Ясно, что .
Вычислим значения функции при х = 1 и на концах отрезка
;
;
.
Из полученных равенств следует, что наименьшее значение функции на отрезке равно , а наибольшее .
4)Провести полное исследование данной функции и построить ее график.
Решение.
Область определения функции .
В области определения функция является непрерывной, как частное двух непрерывных функций.
Т.к. односторонний предел , то прямая х = 0 является вертикальной асимптотой к графику функции.
Т.к. , то прямая у = 0 явлдяется горизонтальной асимптотой к графику функции и наклонных асимптот нет.
Найдем производную:
и приравняем ее к нулю
.
Для и, следовательно, функция возрастает, а для и, следовательно, функция убывает.
Значит в точке х = е функция достигает максимума равного
Найдем вторую производную:
и приравняем ее к нулю
.
Для и, следовательно, функция выпукла вверх, а для и, следовательно, функция выпукла вниз.
Значит точка является точкой перегиба и
Сведем полученные данные в таблицу.
х |
е |
||||
у |
возрастает выпукла вверх |
max |
убывает выпукла вверх |
т. перегиба |
убывает выпукла вниз |
+ |
0 |
- |
|
- |
|
- |
|
- |
0 |
+ |
По данным таблицы построим график:
5)Требуется изготовить открытый цилиндрический бак вместимостью V. Стоимость одного квадратного метра материала, из которого изготавливается дно бака, составляет а рублей, а стоимость одного квадратного метра материала, идущего на стенки бака, – b рублей. При каком отношении радиуса дна к высоте бака затраты на материалы будут минимальными?
Решение.
Пусть h – высота бака, а R – радиус его дна. Тогда стоимость дна будет равна , а стоимость стенки бака . Но бак имеет фиксированную вместимость V. Поэтому .
Следовательно, общая стоимость бака
.
Найдем производную этой функции
и приравняем к нулю. Получим
. Ясно, что при переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+». Значит при этом значении R функция S(R) достигает минимума.
Найдем чему будет равно отношение радиуса дна к высоте бака. Т.к. , то .
Таким образом, затраты на материалы для бака будут минимальными при отношении радиуса дна к высоте бака равном .