К.р. №8 в. 6 Функции комплексной переменной и операционное исчисление
.docВысшая математика. Контрольная работа №8.
Тема: Функции комплексной переменной
и операционное исчисление.
366.Представить заданную функцию w=f(z), где z=x+iy, в виде w=u(x,y)+iv(x,y); проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение её производной в заданной точке z0:
Решение.
Так как , то представим функцию в виде . . Умножим числитель и знаменатель на , далее используем формулу сокращенного умножения . Получим
Тогда
Функция является аналитической, то выполняются условия Коши – Римана
Вычислим частные производные,
,
.
Получим , , условие Коши-Римана выполняется.
Вычислим производную в точке , тогда .
376.Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z0:
Решение.
Представим функцию в виде . Используем формулу тригонометрии . Тогда
.
Далее используем разложение в ряд функций и . Тогда получим разложение
386.Определить область (круг) сходимости данного ряда и исследовать сходимость его (расходится, сходится условно, сходится абсолютно) в точках z1, z2, z3:
Решение.
Для данного степенного ряда . Тогда . Получим
.
Область сходимости ряда определяется неравенством , которое выражает внутренность круга с центром в точке радиусом 2.
Точка лежит вне круга сходимости. Следовательно, ряд в точке расходится.
Точка лежит внутри круга сходимости. Поэтому ряд в точке сходится абсолютно.
Точка лежит на границе круга сходимости. Исследуем на сходимость в этой точке. Подставим , получим ряд
.
Сравним данный ряд с рядом . Этот ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем . Следовательно, ряд в точке сходится абсолютно.
396.При помощи вычетов вычислить данный интеграл по контуру l:
Решение.
Функция внутри контура интегрирования имеет особые точки: - полюс второго порядка; - полюс первого порядка.
.
Тогда интеграл равен
.
Ответ: .
406.Найти изображение заданного оригинала f(t):
Решение.
По таблице основные оригиналы и их изображения . Далее используем теорему дифференцирования изображения
.
Ответ: .
416. Найти изображение заданного оригинала f(t):
Решение.
По таблице оригиналов и используя свойство линейности . По теореме интегрирования изображения . Пычислим несобственный интеграл. Для этого дробь представим в виде . Найдем коэффициенты
.
Тогда
Получим . Интегрируем
По теореме интегрирования оригинала
.
426.Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
Решение.
Пусть , тогда по правилу дифференцирования оригинала имеем и . По таблице основные оригиналы и их изображения . Подставим в уравнение, получим
,
, .
Представим дробь в виде суммы простых дробей, т.е. . Найдем коэффициенты
,
.
Тогда
Получим
.
Переходя к оригиналам, получаем
.
Ответ: .