2.3. Содержание практических занятий по разделам «электростатика, постоянный эЛектрический ток, магнетизм»

Номера практических занятий, темы и время, отводимое для их изучения, представлены в таблице 2.1.

Табл. 2.1. Темы практических занятий во 3-м семестре

№ПР	Наименование и содержание практических занятий (ПР)	часы
ПР 1-2	Силовые характеристики электростатического поля.	3
ПР 2-3	Энергетические характеристики электростатического поля	2
ПР4	Постоянный электрический ток	2
ПР 5	Контрольная работа по электростатике и постоянному электрическому току	2
ПР 6	Расчеты магнитных полей с использованием закона Био-Савара-Лапласа и расчеты магнитных моментов токов. Сила Ампера и Лоренца	2
ПР 7	Расчеты магнитных полей с использованием закона полного тока. Магнитный поток. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле. Магнитное поле в веществе.	2
ПР 8	Закон электромагнитной индукции. Уравнения Максвелла. Энергия магнитного поля.	2
ПР 9	Контрольная работа по электромагнетизму.	2
Итого		17

На любом практическом занятии повторяется теоретический материал, а также анализируются несколько типовых задач. Примеры задач, которые могут быть рассмотрены на практических занятиях, приведены ниже.

2.3.1.Силовые характеристики электростатического поля.

Для подготовки к занятию Вам необходимо повторить лекционный материал, который изложен в пунктах 1-3 подраздела 2.2., а именно:

1-2. Электрический заряд и его свойства. Виды зарядов, дискретность, инвариантность, закон сохранения электрического заряда. Заряд нуклонов и кварков. Заряд атомов и заряд тел. Электростатическое (эл. ст.) поле и его напряженность. Закон Кулона. Вектор напряженности. Силовые линии. Принцип суперпозиции. Напряженность поля от равномерно заряженной прямой нити.

3. Теорема Гаусса для эл. ст. поля в вакууме. Поток вектора напряженности (Е). Теорема Гаусса и ее применение к расчету эл.ст. полей: поле равномерно заряженной бесконечной плоскости, поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей, поле равномерно заряженной сферической поверхности, поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра, поле равномерно заряженного по объему шара.

На самом занятии мы повторим основные законы и формулы, характеризующие силовые характеристики электростатического поля и решим некоторые типовые задачи на данную тему. Примеры задач по различным темам рассматриваемого подраздела приведены ниже.

РАСЧЕТ СИЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО

ПОЛЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРИНЦИПА СУПЕРПОЗИЦИИ

Вы должны быть готовы к тому, чтобы дать формулировки и записать на доске (если Вас вызовут) основные законы и формулы, относящиеся к рассматриваемой теме, а именно:

1. Закон Кулона.

2. Закон сохранения электрического заряда.

3. Напряженность электростатического поля.

4. Напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом.

5. Линейная, поверхностная и объемная плотность заряда.

6. Принцип суперпозиции для дискретно распределенных электрических зарядов.

7. Принцип суперпозиции для непрерывно распределенных электрических зарядов:

– вдоль линии с линейной плотностью;

– по поверхности c поверхностной плотностью;

– по объему с объемной плотностью.

8. Напряженность электростатического поля от равномерно заряженной (c линейной плотностью) бесконечной прямой линии (или бесконечно длинного цилиндра).

Примеры задач, которые могут быть рассмотрены на занятии, приведены ниже.

Пример 1. В вершинах квадрата со стороной a расположены два положительных и два отрицательных заряда, значение каждого из них равно q. Определить напряженность электростатического поля в центре квадрата (рис. 2.1).

Решение: Для нахождения напряженности электростатического поля в центре квадрата (точка С) необходимо воспользоваться принципом суперпозиции для дискретно распределенных зарядов:

,

где – напряженности полей, создаваемых каждым из зарядов в центре квадрата.

Расстояние r от любого заряда до рассматриваемой точки равно:

r = a / 2 .

Напряженность поля E_i, создаваемого каждым зарядом в точке С, равна:

E_i = êqú / 4pe_or² = êqú / 2pe_o a².

Напряженности и полей, созданных 2-м и 4-м зарядами в центре квадрата, сонаправлены и равны по модулю: E₂ = E₄. Аналогично E₁ = E₃. Напряженность результирующего поля равна: .

а) б)

Рис. 2.1.

Векторы E₁ и E₂ также равны по модулю и направлены ортогонально друг другу (по диагоналям квадрата), а значит – результирующий вектор направлен вертикально вниз и равен: Е = 4E₁ cos45^o.

Окончательно имеем:

Е = 4 êqú cos45^o / 2pe_o a² = q /(pe_o a² ).

Самостоятельно покажите, что при расположении зарядов, показанном на рис. 2.б, напряженность поля в центре квадрата равна нулю.

Пример 2. Тонкий прямой стержень длиной 1 = 15 см равномерно заряжен с линейной плотностью  = 0,10 мКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии a = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд q_o = 10 нКл. Определить силу взаимодействия стержня и заряда.

Решение: Зная длину стержня l и линейную плотность заряда , легко найти заряд стержня: q_cт. = ·l. Однако здесь нельзя определить силу взаимодействия двух зарядов непосредственно по закону Кулона, так как этот закон справедлив лишь для точечных зарядов, а заряд q_cт., распределенный по стержню, нельзя считать точечным.

Чтобы применить закон Кулона, рассмотрим бесконечно малый элемент длины dх стержня, находящийся на расстоянии х от эаряда q_o (рис. 2.2). Заряд этого элемента равен dq = dx.

Рис. 2.2.

По закону Кулона на заряд q_o будет действовать со стороны заряда dq сила, равная

dF = .

Со стороны всех остальных бесконечно малых элементов стержня на заряд q_o, также будут действовать элементарные силы, направленные в ту же сторону, что и dF. Сложив их модули, найдем искомую силу, равную результирующей силе действия всех элементов стержня на заряд q_o:

F = .

Выразим в единицах СИ входящие в формулу величины: 1/4л_o = 9,00·10⁹ м/Ф, q_o = 1,0 ·10^—8 Кл,  = 1,0 · 10^—7 Кл/м, 1 = 0,15 м, a = 0.10 м. Подставив эти значения и выполнив вычисление, найдем F = 5 · 10 ^—5 Н.

Пример 3. Очень длинная нить равномерно заряжена с линейной плотностью ·. Определить напряженность поля в точке А, лежащей против конца нити на расстоянии а от нее (рис. 2.3).

Решение: Здесь нельзя вычислить напряженность по формуле для бесконечно длинной нити, так как заданная точка А расположена вблизи не только нити, но и одного из ее концов. Поэтому рассмотрим элемент dl нити. Пусть он находится от точки А на расстоянии r. Заряд элемента dq = dl.

Рис. 2.3.

Напряженность поля dЕ, созданного этим зарядом в точке А, равна

dE = .

В качестве переменной величины здесь удобно выбрать угол , который составляет радиус-вектор г c нормалью к нити. Как видно из чертежа,

; .

Подставив эти значения в первую формулу, получим

dE = .

Чтобы найти полную напряженность в точке А, сложим напряженности dЕ от всех элементов нити. При этом следует учесть, что все слагаемые векторы dE имеют различное направление. Поэтому интеграл òdE, взятый по всей длине нити, заведомо не равен искомой величине. В этой задаче нельзя воспользоваться соображениями симметрии, так как, хотя поле заряженной нити имеет оси симметрии, точка А не лежит ни на одной из этих осей. Поэтому применим общий метод определения напряженности, как векторной величины.

Выберем оси 0х и 0у, как показано на рисунке. Найдем проекции вектора на эти оси:

dE_x = dE cos  = ;

dE_y = dE sin   

Интегрируя эти проекции по всей длине нити и учитывая, что при этом угол изменяется от 0 до л/2, вычислим проекции искомого вектора напряженности Е в точке А и его модуль:

;

;

.

Пример 4. Точечный заряд q₁ = 20 нКл помещен в центре непроводящей сферической поверхности радиуса R = 15 см, по которой равномерно распределен заряд q₂ = – 20нКл. Определить напряженность поля в точках А и В, удаленных от центра сферы на расстояния r_A = 20,0 см и r_В = 10,0 см. Чему будет равна напряженность поля в точке А, если заряд q₁ сместить на расстояние l = 1.0 мм от центра сферы в направлении, которое составляет с радиусом-вектором, проведенным в точку А, угол = 60^o (рис.2.4).

Решение: Напряженность поля, созданного зарядами q₁ и q₂, равна векторной сумме напряженностей Е₁, и Е₂ поля каждого заряда. Хотя здесь заряд q₂ не является точечным, разбивать его на бесконечно малые элементы необязательно, так как этот заряд распределен равномерно по поверхности сферы. Как следует из формулы напряженности поля равномерно заряженной сферической поверхности, поле сферы в точке А таково, как если бы весь заряд сферы находился в ее центре. Поэтому можно считать, что на сфере вообще зарядов нет, но в ее центре находятся два заряда q₁ и q₂. Так как по условию они равны по модулю и противоположны по знаку, то ясно, что их поля в точке А (как и в любой другой точке вне сферы) уничтожат друг друга. Следовательно, E_A = 0.

* A

B

q₂ q₁ *

* *

l

Рис. 2.4.

Чтобы найти напряженность поля в точке В, учтем, что заряды, равномерно распределенные на сфере, не создают поля внутри нее. Следовательно, в точке В будет поле, созданное только зарядом q₁, и его напряженность

После смещения заряда q₁, из центра сферы поля зарядов q₁ и q₂ уже не будут уничтожать друг друга. По-прежнему, заменяя заряженную сферу зарядом, находящимся в ее центре, видим, что задача сводится к определению напряженности поля (в точке А) системы двух равных по модулю и противоположных по знаку зарядов, т. е. поля диполя, имеющего плечо 1 и электрический момент р = q·1. Так как, по условию, г_А >> 1, то, воспользовавшись формулой для напряженности поля диполя, найдем напряженность поля в точке А:

Выразим данные величины в единицах СИ: (1/4л_) = 9,0·10⁹ м/Ф, q₁ = 2,0 · 10^-8 Кл, r_A = 0,20 м, r_B = 0,10 м , l = 1,0 · 10^-3 м. Подставив эти значения в формулы для Е_B и и выполнив вычисление, получим: E_B = 18 · 10³ В/м; = 25 В/м.

Пример 5. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью  = 10 нКл/м. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

Решение: Выберем ось координат так, чтобы начало координат совпало с центром кривизны дуги, а ось 0y была симметрично расположена относительно концов дуги (рис. 2.5). На нити выделим элемент длины dl. Заряд dq = dl, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

Определим напряженность электрического поля в точке 0. Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dq:

,

где r - радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

y

dE_y dE

J

0 dE_x

x

dJ

/3

J

dl

Рис. 2.5.

Выразим dE через проекции dEx и dE_y на оси координат:

Напряженность Е найдем интегрированием:

Интегрирование ведется вдоль дуги длиной l. В силу симметрии .

Получим:

, (1)

где dE_y = dE·cosJdlcosJ₀r²). Так как r = R = const, dl = R dJ, то

.

Подставим выражение dE_y в (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси 0y, пределы интегрирования возьмем от 0 до 3, а результат удвоим:

Выразив радиус R через длину нити (3l=2R), получим

Из этой формулы видно, что напряженность поля по направлению совпадает с осью 0у.

ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ

Вы должны быть готовы к тому, чтобы дать формулировки и записать на доске (если Вас вызовут) основные законы и формулы, относящиеся к рассматриваемой теме, а именно:

1. Поток dФ_Е вектора напряженности dE через элементарную площадку dS, нормаль к которой расположена под углом  к линиям напряженности электрического поля.

2. Поток Ф_Е вектора напряженности E электрического поля:

а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное электрическое поле;

б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле.

3. Поток Ф_Е вектора напряженности Е через замкнутую поверхность.

4. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.

5. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно распределенным по сферической поверхности зарядом (в центре, на поверхности и за пределами сферы).

6. Напряженность электростатического поля от равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Пример 1. Две концентрические проводящие сферы радиусами R₁ = 6 cм и R₂ = 10 см несут соответственно заряды q₁ = 1 нКл и q₂ = – 0,5 нКл. Найти напряженность электростатического поля Е в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r₁ = 5 см, r₂ = 9 см и r₃ = 15 см. Построить график зависимости E(r).

Решение. Точки, в которых требуется найти напряженность электрического поля, лежат в трех областях (рис. 2.6): область I (r₁  R), область II (R₁ r₂ R₂), и область III (r₃ > R₂).

1. Для определения напряженности Е₁ в области I проведем через произвольную точку (находящуюся в области I) воображаемую сферическую поверхность площадью S_I радиусом r₁ и воспользуемся теоремой Гаусса. Так как внутри этой области зарядов нет, то согласно указанной теореме, поток вектора Е через поверхность S_I равен 0:

Ф_Е = , (1)

где E_n — нормальная составляющая напряженности электрического поля.

Из соображений симметрии следует, что нормальная составляющая E_n должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т.е. E_n = E₁ = const. Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство (1) примет вид:

Поскольку площадь сферы не равна нулю, то Е₁ = 0, т.е. напряженность электрического поля в любой точке, находящейся внутри первой сферы (r₁ < R₁), равна нулю.

2. Для определения напряженности Е₂ в области II проведем через произвольную точку (находящуюся в области II) воображаемую сферическую поверхность площадью S_II радиусом r₂. Согласно теореме Гаусса, поток вектора напряженности электрического поля через поверхность S_II равен заряду, находящемуся внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную _

  .

Так как на поверхности S_II выполняется равенство E_n = E₂ = const, то величину E₂ можно вынести за знак интеграла

 или .

Откуда следует, что

.

Подставив сюда выражение площади сферы, получим

. (2)

(E=E_n) Q₂ E

E (E=E_n)

n

Q₁ n

r₁ R₁

III II I · O S_I

S_II S_III

r₂

r₃ R₂

Рис. 2.6.

3. Для определения напряженности Е₃ в области III проведем воображаемую сферическую поверхность площадью S_III радиусом r₃. Эта поверхность охватывает суммарный заряд (q₁ + q₂). Согласно теореме Гаусса, получим:

.

Отсюда, воспользовавшись рассуждениями, аналогичными для рассмотрения первых двух случаев, найдем напряженность электрического поля в третьей области

. (3)

4. Построим график зависимости E(r). В области I напряженность Е = 0. В области II напряженность определяется выражением (2), т.е. убывает с увеличением расстояния. Определим значение напряженности в граничных точках области II:

Е₂(r=R₁) = q₁/(_R_^) = 2500 В/м;

E₂(r=R₂) = q₁/(4_R₂²) = 900 В/м.

В области III напряженность определяется выражением (3). Значение Е₃ в точках r = R₂ равно

E₃(r=R₂) = (q₁ —q₂)/ 4₀R₂²В/м.

Очевидно, что функция E(r) в точках r = R₁ и в r = R₂ терпит разрыв. График функции E(r) представлен на рис.2.7.

Убедимся, что правые части формул (2) и (3) дают единицу напряженности электрического поля:

.

Выразив величины в единицах СИ и произведя вычисления, получим значения напряженности электрического поля в точках r₁, r₂ и r₃: E₂ = 1,11 кВ/м; E₃ = 200 B/м.

Е, В/м I

2500

II

900

450

III

0

R₁ R₂ r

Рис.2. 7.

Пример 2. На двух коаксиальных бесконечных цилиндрах радиусами R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями ₁ и ₂ (рис. 2.8). Требуется: 1) используя теорему Гаусса найти зависимость E(r) напряженности электрического поля от расстояния для трех областей – I, II, III. Принять ₁ = , ₂ = –; 2) вычислить напряженность Е в точке, удаленной от оси цилиндров на расстояние r, и указать направление вектора Е. Принять  = 60 нКл/м², r = 3R; 3) Построить график зависимости E(r).

Решение:1. Для нахождения напряженности электрического поля в области I мысленно построим замкнутую цилиндрическую поверхность площадью S_I, проходящую через точку пространства А, лежащую в этой области (рис.2.8). Рассматриваемый нами воображаемый цилиндр соосен с реальными цилиндрами, на которых расположены заряды. Согласно теореме Гаусса, поток Ф_Е вектора Е через указанную поверхность равен 0, так как внутри указанной поверхности отсутствуют заряды:

И поскольку элементы dS не могут быть равными 0, то интеграл равен нулю лишь в том случае, если равна нулю напряженность электрического поля Е₁. Таким образом, Е₁ = 0.

_{2 S1}

₁ S₂

R₁ R₂

Е_III

Е_II I II III

A B C

  

l r₂

r₃

S_II

Рис.2.8.

Замечание: Вспомогательная воображаемая поверхность площадью S_II изображена лишь для области II (чтобы не загромождать поле рисунка). Аналогичные поверхности можно изобразить и для области I (S_I), и для области III (S_III).

2. Для нахождения напряженности электрического поля в области II изобразим замкнутую воображаемую цилиндрическую поверхность площадью S_II, проходящую через точку пространства B, лежащую в этой области (рис.2.8.). Согласно теореме Гаусса, поток Ф_Е вектора Е через указанную поверхность равен заряду, находящемуся внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную:

,

где q₁ – заряд, находящийся на поверхности первого цилиндра;

S₁ – площадь боковой поверхности первого цилиндра .

Интеграл по замкнутой цилиндрической поверхности S_II разобьем на два: по боковой поверхности и по основаниям. Мы знаем, что линии напряженности электрического поля от заряженного цилиндра перпендикулярны боковой поверхности цилиндра, то есть E_n = E_II. Кроме того, на боковой поверхности величина E_II постоянна, и ее можно вынести за знак интеграла. Очевидно, что поток вектора Е через основания цилиндра равен 0. Получим

.

Из последнего равенства находим напряженность электрического поля в области II:

. (1)

3. Для определения напряженности электрического поля в области III рассчитаем поток вектора Е через воображаемую цилиндрическую поверхность, проходящую через точку С, находящуюся в области III, и воспользуемся теоремой Гаусса. Используя рассуждения, аналогичные примененным в пунктах 1) и 2), получим:

. (2)

4. Для построения графика зависимости E(r) используем формулы (1) и (2). Определим значения напряженности электрического поля на границах рассматриваемых областей.

В точке r = R напряженность поля равна 0 (при приближении к границе слева). Для нахождения значения Е при приближении к границе справа (со стороны области II) необходимо подставить значение r = R в формулу (1). Получим E(r=R) = ₀.

Для нахождения значения Е на границе r = 2R подставим значение r = 2R в формулы (1) и (2). Получим: E = 2₀ (при приближении к границе слева); E = —2₀ (при приближении к границе справа).

Построим график зависимости E(r), воспользовавшись формулами (1) и (2) и найденными граничными значениями.

E

_

_

3R

0 r

R 2R

-_

Рис. 2.9

5. Рассчитаем значение напряженности электрического поля в точке r = 3R по формуле (2). Получим Е =– _ –2,25 кВ/м.

В области II линии вектора напряженности направлены от поверхности первого цилиндра (так как Е_II > 0). В области III линии вектора Е направлены к поверхности второго цилиндра. Для иллюстрации одна из линий вектора Е изображена на рис.2.8.