5.4 Зусилля в пластинці
Досліджуємо, які зусилля відповідають напруженням (5.6) у перерізах пластинки, нормальних до її серединної площини. На рис. 5.3 зображений нескінченно малий елемент пластинки, вирізаний такими перетинами.
Рис. 5.3. Нескінченно малий елемент пластинки
Розглянемо спочатку площадку з нормаллю, паралельної осі . По ній діють складові напружень , і . На рисунку показані позитивні напруження: нормальне напруження спрямоване по зовнішній нормалі до перерізу, а дотичні — у напрямку відповідних позитивних координатних осей, тому що зовнішня нормаль до перерізу збігається з позитивним напрямком осі .
Позначимо
через
нормальну силу, що доводиться на одиницю
ширини розглянутого перерізу. Вона
дорівнює проекції на вісь
рівнодіючої
внутрішніх сил у перерізі з нормаллю,
паралельної осі
.
На цю вісь проектується тільки нормальне
напруження
.
Відповідна
йому внутрішня сила на нескінченно
малій площадці
дорівнює
,
а
на одиницю ширини перернізу доводиться
сила
.
Підсумовуючи
ці елементарні сили по товщині пластинки,
одержуємо вираз нормальної сили
.
Підставимо сюди нормальну напругу з формул (5.6) і винесемо за знак інтеграла величини, що не залежать від координати :
Під
знаком інтеграла стоїть непарна функція,
а границі інтегрування відрізняються
тільки знаком. Тому інтеграл дорівнює
нулю, а, отже, нормальна сила
.
Аналогічно
визначаємо згинальний момент
,
що представляє
собою суму елементарних моментів
:
Після інтегрування одержуємо
.
Вхідна сюди величина
|
(5.7) |
називається циліндричною жорсткістю. Вона є фізико-гeoметриною характеристикою пластинки при згинанні.
Поперечна сила в розглянутому перерезі
.
Підставимо в цей інтеграл вираз дотичного напруження , з формул (5.6):
.
Після інтегрування одержуємо
.
Зсувну
силу
,
знаходимо, підсумовуючи проекції
внутрішніх сил у тім же перерезі на
вісь
:
.
Після підстановки дотичного напруження з формул (5.6)
.
Крутний момент
|
(а) |
.Аналогічно визначаються зусилля в перерезі з нормаллю, паралельної, осі (рис. 5.3):
|
(б) |
Порівнюючи формули (а) і (б), зауважуємо, що
Таким чином, під дією поперечного навантаження в перерізах пластинки, перпендикулярних її серединній площини, виникають наступні зусилля:
згинальні моменти
|
(5.8) |
поперечні сили
|
(5.9) |
і крутний момент
|
(5.10) |
Всі вони виражені через прогини серединної площини. Позитивні напрямки зазначених зусиль показані на рис. 5.4.
Рис. 5.4. Позитивні напрямки зусиль
5.5 Вираження напружень через зусилля
Формули, виведені в попередньому параграфі, дозволяють визначати моменти й поперечні сили в будь-якій точці серединної площини пластинки. По їх значенню можна знайти напруження в будь-якій точці пластинки. Дійсно, порівнюючи вирази нормальних напружень (5.6) з формулами згинальних моментів (5.8), одержуємо
|
(а) |
Ці
формули відповідають формулам для
визначення нормальних напружень при
згинанні балки прямокутного перерізу.
У них входить момент інерції площі
прямокутного перерізу шириною, рівної
одиниці,
.
Таким чином, формули (а) приймають вид,
відомий з курсу опору матеріалів:
Максимальні за абсолютним значенням нормальні напруження виникають при :
|
(5.11) |
Тут
– момент опору прямокутного перерізу
шириною, рівній одиниці.
З порівняння формул (5.6) і (5.10) треба
.
Максимальні дотичні напруження також виникають при :
.
Вертикальні дотичні напруження визначаємо з порівняння формул (5.6) і (5.9):
;
.
Аналогічні результати отримані в опорі матеріалів по формулі Д. И. Журавського для балки прямокутного перетину шириною, рівній одиниці. Максимальні напруження виникають у точках серединної площини, тобто при :
;
.