- •1.1 Гіпотези й принципи теорії пружності
- •1.2 Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг
- •1.2.1 Зовнішні сили й напруги
- •1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
- •1.2.3 Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні
- •1.2.4 Головні напруги. Інваріанти напруженого стану
- •1.2.5 Тензор напруг. Найбільші дотичні напруження
- •1.3 Деформований стан у точці тіла. Тензор деформацій
- •1.3.1 Переміщення й деформації. Взаємозв'язок між ними
- •1.3.2 Об'ємна деформація
- •1.3.3 Рівняння нерозривності деформацій
- •1.3.4 Тензор деформацій. Головні деформації
- •1.4 Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
- •1.5 Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій
- •2.1 Повна система рівнянь теорії пружності
- •2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
- •2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
- •2.4 Типи граничних умов на поверхні тіла
- •2.5 Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
- •3.1 Плоска деформація і плоский напружений стан
- •3.2 Методи рішення плоскої задачі для прямокутних однозв'язних областей
- •3.3 Згинання консолі силою, прикладеною на кінці
- •3.4 Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження
- •3.5 Трикутна підпірна стінка
- •3.6 Розрахунок балки-стінки
- •3.7 Обґрунтування принципу Сен-Венана
- •Розділ 4. ПлосКа задача теорії пружності у полярних координатах
- •4.1 Основні рівняння
- •4.2 Простий радіальний напружений стан
- •4.3 Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
- •4.4 Стискання клина
- •4.5 Згинання клина
- •4.6 Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
- •4.7 Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
- •4.8 Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
- •4.9 Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
- •4.10 Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень
- •4.11 Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна
- •4.12 Поняття про розрахунок циліндричних котків
- •6.13 Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
- •5.1 Основні поняття й гіпотези
- •5.2 Переміщення і деформації в пластинці
- •5.3 Напруження в пластинці
- •5.4 Зусилля в пластинці
- •5.5 Вираження напружень через зусилля
- •5.6 Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
- •5.7 Умови на контурі пластинки
- •5.8 Прямокутна пластинка. Рішення Нав’є
- •5.9 Прямокутна пластинка. Розв’язок Леві
- •5.10 Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на пружній основі
- •5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
- •5.12 Найпростіші осесиметричні задачі вигину круглої пластинки
- •5.13 Поняття про розрахунок гнучких пластинок
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.3 Метод Бубнова-Гальоркіна
- •6.4 Метод Власова
- •6.5 Потенційна енергія при вигині пластинки
- •6.6 Приклад розв’язання задачі методом Рітца-Тимошенко
- •6.7 Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
Виділимо з тіла, що перебуває під дією зовнішніх сил, нескінченно малий паралелепіпед, грані якого паралельні координатним площинам, а ребра мають довжину . На кожній грані такого елементарного паралелепіпеда діють по три складові напруги, паралельні координатним осям. Всього на шести гранях одержимо 18 складових напруг.
Нормальні напруги позначаються у вигляді , де індекс позначає нормаль до відповідної грані (тобто може приймати значення ). Дотичні напруження мають вигляд ; тут перший індекс відповідає нормалі до тієї площадки, на якій діє дане дотичне напруження, а другий вказує вісь, паралельно який ця напруга спрямована (мал.1.1).
Рис.1.1. Нормальні й дотичні напруження
Для цих напруг прийняте наступне правило знаків. Нормальна напруга вважається позитивною при розтяганні, або, що те ж саме, коли вона збігається з напрямком зовнішньої нормалі до площадки, на якій діє. Дотичне напруження вважається позитивним, якщо на площадці, нормаль до якої збігається з напрямком паралельної йому координатної осі, воно спрямоване в бік відповідній цій напрузі позитивної координатної осі.
Складові напруг є функціями трьох координат. Наприклад, нормальну напругу в точці з координатами можна позначати
В точці, що знаходиться від розглянутої на нескінченно малій відстані, напругу з точністю до нескінченно малих першого порядку можна розкласти в ряд Тейлора:
Для площадок, які паралельні площині змінюється тільки координата х, а приріст Тому на грані паралелепіпеда, що збігається з площиною нормальна напруга буде , а на паралельній грані, що знаходиться на нескінченно малій відстані , — Напруги на інших паралельних гранях паралелепіпеда зв'язані аналогічним чином. Отже, з 18 складових напруги невідомими є тільки дев'ять.
Крім напруг на паралелепіпед діють об'ємні сили. Якщо позначити проекції на координатні осі об'ємних сил, віднесених до одиниці об'єму тіла через то складові об'ємних сил, що діють в об’ємі розглянутого паралелепіпеда, будуть
Для тіла, що перебуває в рівновазі, повинні задовольнятися шість рівнянь статики: три рівняння проекцій на координатні осі й три рівняння моментів щодо цих осей.
Складемо рівняння проекцій на вісь х. Перемножуючи кожну напругу на площу грані, по якій воно діє, і переходячи в такий спосіб від напруг до сил, одержимо
Після перетворень це рівняння рівноваги приймає вигляд
Аналогічним чином виходять два інших рівняння проекцій, і в результаті три диференціальних рівняння рівноваги записуються так:
|
(1.1) |
Перейдемо до рівнянь моментів щодо координатних осей. Складемо суму моментів всіх сил щодо осі y:
Після перетворень, відкидаючи величини четвертого порядку малості й розділивши на об’єм паралелепіпеда, одержимо
Суми моментів щодо двох інших осей дають аналогічні співвідношення. Ці три рівності виражають закон парності дотичних напружень:
|
(1.2) |
Цей закон формулюється в такий спосіб: по двох взаємно перпендикулярних площадках складових дотичних напруг, перпендикулярні лінії перетинання цих площадок, рівні одна одній
Рівності (1.2) приводять до того, що з дев'яти складових напруг, що характеризують напружений стан в точці тіла, залишаються тільки шість:
|
(1.3) |
Для визначення цих шести величин є тільки три рівняння рівноваги (1.1), отже, задача теорії пружності по визначенню напруг у нескінченно малому об’ємі є статично невизначеною.
Відсутні рівняння можна одержати, розглядаючи деформації тіла і його фізичні властивості.