- •1.1 Гіпотези й принципи теорії пружності
- •1.2 Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг
- •1.2.1 Зовнішні сили й напруги
- •1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
- •1.2.3 Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні
- •1.2.4 Головні напруги. Інваріанти напруженого стану
- •1.2.5 Тензор напруг. Найбільші дотичні напруження
- •1.3 Деформований стан у точці тіла. Тензор деформацій
- •1.3.1 Переміщення й деформації. Взаємозв'язок між ними
- •1.3.2 Об'ємна деформація
- •1.3.3 Рівняння нерозривності деформацій
- •1.3.4 Тензор деформацій. Головні деформації
- •1.4 Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
- •1.5 Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій
- •2.1 Повна система рівнянь теорії пружності
- •2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
- •2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
- •2.4 Типи граничних умов на поверхні тіла
- •2.5 Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
- •3.1 Плоска деформація і плоский напружений стан
- •3.2 Методи рішення плоскої задачі для прямокутних однозв'язних областей
- •3.3 Згинання консолі силою, прикладеною на кінці
- •3.4 Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження
- •3.5 Трикутна підпірна стінка
- •3.6 Розрахунок балки-стінки
- •3.7 Обґрунтування принципу Сен-Венана
- •Розділ 4. ПлосКа задача теорії пружності у полярних координатах
- •4.1 Основні рівняння
- •4.2 Простий радіальний напружений стан
- •4.3 Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
- •4.4 Стискання клина
- •4.5 Згинання клина
- •4.6 Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
- •4.7 Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
- •4.8 Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
- •4.9 Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
- •4.10 Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень
- •4.11 Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна
- •4.12 Поняття про розрахунок циліндричних котків
- •6.13 Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
- •5.1 Основні поняття й гіпотези
- •5.2 Переміщення і деформації в пластинці
- •5.3 Напруження в пластинці
- •5.4 Зусилля в пластинці
- •5.5 Вираження напружень через зусилля
- •5.6 Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
- •5.7 Умови на контурі пластинки
- •5.8 Прямокутна пластинка. Рішення Нав’є
- •5.9 Прямокутна пластинка. Розв’язок Леві
- •5.10 Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на пружній основі
- •5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
- •5.12 Найпростіші осесиметричні задачі вигину круглої пластинки
- •5.13 Поняття про розрахунок гнучких пластинок
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.3 Метод Бубнова-Гальоркіна
- •6.4 Метод Власова
- •6.5 Потенційна енергія при вигині пластинки
- •6.6 Приклад розв’язання задачі методом Рітца-Тимошенко
- •6.7 Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
3.3 Згинання консолі силою, прикладеною на кінці
Задачу будемо вирішувати зворотним методом в напруженнях. Схема балки зображена на рис. 3.5. Задамося напруженнями, одержуваними методами опору матеріалів, і перевіримо, чи задовольняють вони основним рівнянням плоскої задачі теорії пружності і чи відповідають заданому навантаженню.
Рис. 3.5. Розрахункова схема консолі
В опорі матеріалів для поперечного згину маємо наступну систему напруженьг:
|
(а) |
Підраховуємо вхідні сюди величини:
згинальний момент
поперечна сила
статичний момент площі відсіченої частини перерізу щодо нейтральної осі
момент інерції площі перерізу щодо нейтральної осі
ширина перерізу .
Підставляючи ці величини в рівняння (а), одержуємо
|
(3.23) |
Власною вагою балки зневажаємо. Тоді при підстановці напружень (3.23) у рівняння рівноваги (3.2) і рівняння нерозривності деформацій (3.9) переконуємося, що вони обертаються в тотожності. Таким чином, напруження (3.23) задовольняють основним рівнянням плоскої задачі теорії пружності.
Переходимо до розгляду умов на контурі. На верхній і нижній гранях балки ніяких навантажень нема, тому повинна виконуватися наступна умова:
при .
Підставляючи сюди напруження з (3.23), переконуємося, що умова дійсно виконується.
На торці нормальних напружень нема, а дотичні повинні зрівноважити силу . Оскільки закон їх розподілу невідомий, відповідна умова повинна бути записана в інтегральній формі. Отже, при
Скориставшись знову значеннями напружень (3.23), знаходимо, що умови на торці теж виконуються.
Таким чином, напруження, отримані на підставі гіпотези плоских перерізів, підтверджуються теорією пружності, коли сила розподілена по такому ж закону, як і дотичні напруження. При іншому законі розподілу сили вирази напружень будуть іншими, але на підставі принципу Сен-Венана значна різниця буде тільки поблизу торця.
Для повного рішення задачі обчислимо деформації і переміщення. По формулах закону Гука для плоскої задачі (3.8) після підстановки в них напружень (3.23) знаходимо:
Відповідно до формул (3.4),
|
(б) |
|
(в) |
Інтегруючи рівняння (б), знаходимо
|
(г) |
де й — довільні функції.
Підставляючи переміщення (г) у рівняння (в), маємо
або після скорочення й приведення подібних членів
|
(д) |
Отримана рівність може існувати при довільних значеннях і тільки в тому випадку, якщо вираз, що коштє у квадратних дужках, постійні:
|
(е) |
Крім того, з рівняння (д) випливає наступна залежність між постійними:
|
(ж) |
Інтегруючи рівняння (е), знаходимо:
Підставляючи отримані функції у формули (г), одержимо
|
(з) |
Для визначення довільних постійних , , і розглянемо закріплення балки. В опорі матеріалів всі міркування відносять до осі бруса, тому защемлення в плоскої задачі теорії пружності повинне забезпечувати нерухомість точки й відсутність повороту осі балки навколо цієї точки, тобто при
При цих умовах з формул (з) знаходимо
і з рівняння (ж)
Тоді формули (з) приймають вид
|
(3.24) |
Із другого рівняння (3.24), поклавши , одержимо рівняння зігнутої осі балки
яке збігається з рівнянням в опорі матеріалів.
Перевіримо тепер справедливість гіпотези плоских перерезів. Рівняння довільного поперечного переріза до деформування
після деформування прийме вид
Після підстановки виразу переміщення і з формул (3.24)
Виходить, поперечний переріз не залишається плоским, а викривляється по кубічній параболі. Отже, формула (а) для нормальних напружень , виведена на підставі гіпотези плоских перерезів, залишається справедливою і при скривленні перезів.