§9. Обращение теоремы Абеля.

Теорема, обратная второй теорема Абеля, без дополнительных предположений неверна даже для степенных рядов от одной переменной, т.е. из существования предела

(33)

не следует сходимости ряда

(34)

Поэтому докажем сначала соответствующую теорему для обычных степенных рядов. Такого рода теоремы называют тауберовыми.

Теорема 1. Пусть для всех члены ряда (34) имеют одинаковые знаки. Тогда для его сходимости необходимо и достаточно, чтобы существовал предел (33).

Доказательство. Т.к. члены ряда с номерами не влияют на его сходимость, то отбросив их, без ограничения общности можно считать, что все имеют одинаковые знаки. Для определенности будем считать, что . Если ряд (34) сходится при и, следовательно, его радиус сходимости , а тогда по второй теореме Абеля, справедливо (33).

Обратно, если (33) имеет место, то из того, что имеем для любого натурального

и .

Таким образом, частные суммы ряда (34) оказываются ограниченными, а, значит, ряд сходится.

Аналогичная теорема верна и для двойных степенных рядов.

Теорема 2. Если для всех , члены двойного ряда

(35)

имеют одинаковые знаки, то для его сходимости необходимо и достаточно, чтобы существовал предел

. (36)

Доказательство. Т. к. члены ряда (35) с номерами , не влияют на его сходимость, то отбросив их (всего - членов), без ограничения общности можно считать, что все .

Если ряд (35) сходится, то его частные суммы ограничены в силу положительности ряда (35).Следовательно, ряд (35) ограниченно сходится, и, в силу второй теоремы Абеля, имеет место (36).

Обратно, если верно (36), то вследствие предположения имеет место для любых натуральных и

Переходя к пределу в этом неравенстве при , получим, в силу (36)

,

т.е. ограниченность частных сумм ряда (35), т. е. его сходимость.

§10. Кратные функциональные ряды.

Определение 1. Ряд вида

, (37)

где функции определены на некотором множестве , называется кратным функциональным рядом, а суммы вида

называются его частными суммами.

Здесь и в последующем , , неравенства вида , означают соответственно , , а неравенство - что .

Определение 2. Ряд (37) называется сходящимся на множестве , если при каждом фиксированном кратный числовой ряд

сходится. Если ряд (37) сходится на , то функция

,

называется его суммой.

Частным случаем кратных функциональных рядов являются кратные степенные ряды.

Определение 3. Ряды вида

,

где - вообще говоря, комплексные числа, называются кратными степенными рядами.

Замена переменной , т. е. сводит этот ряд к простейшей форме:

.

На кратные степенные ряды переносятся все результаты, доказанные для двойных степенных рядов. Методы доказательств этих результатов остаются прежними. Усложнятся лишь записи при переходе к кратным рядам.

На кратные функциональные ряды легко переносится понятие равномерной сходимости, признак Вейерштрасса равномерной сходимости и т. п. Формально эти понятия и теоремы выглядят так же, как и для простых функциональных рядов.

Определение 4. Ряд (37), члены которого являются функциями, определенными на множестве , называются равномерно сходящимися на этом множестве, если последовательность его частных сумм равномерно сходится на , т.е. существует функция , определенная на такая, что для любого найдется номер , такой, что , .

Равномерную сходимость обозначают символически так: , .

Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Для того чтобы ряд (37) равномерно сходился на множестве , необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер , что для всех и всех целочисленных и всех выполнялось неравенство

здесь , , , .

Следствие. (необходимое условие равномерной сходимости).

Если ряд (37) равномерно сходится, то на .

Теорема Вейерштрасса. Пусть даны два ряда: функциональный (37), члены которого определены на множестве , и числовой

, , (38)

Если ряд (38) сходится и , то ряд (37) абсолютно и равномерно сходится на множестве .

Доказательства этих теорем проводятся так же, как для простых функциональных рядов.

Основываясь на этих теоремах, легко доказать также, как и для простых рядов следующие свойства.

Свойства простых степенных рядов.

Пусть степенной ряд

(39)

имеет область сходимости . Тогда

1. В любой замкнутой подобласти ряд (39) сходится равномерно.

2. Сумма степенного ряда (39) для всех является непрерывной функцией.

3. Если два степенных ряда и в окрестности точки имеют одну и ту же сумму, то эти ряды тождественны, т. е. .

4. Если степенной ряд (39) расходится в точке , то на луче его сходимость не может быть равномерной.

5. Если степенной ряд сходится в точке , то его сходимость равномерна на луче .

6. Степенной ряд (39) в прямоугольнике можно интегрировать почленно ( )

.

7. Степенной ряд (39) внутри области сходимости можно почленно дифференцировать по каждой переменной.

8. Степенной ряд (39) по отношению к функции является ее рядом Тейлора.

32