§ 4. Абсолютно сходящиеся ряды.

Рассмотрим теперь двойной ряд, составленный из матрицы, в которой не все элементы положительны. Очевидно, что, как для простых рядов, мы можем исключить из рассмотрения те случаи, когда все элементы матрицы отрицательны или когда есть только конечное число положительных или отрицательных элементов, т.к. все эти случаи непосредственно приводятся к только что рассмотренному случаю положительных рядов. Поэтому мы предположим, что в рассматриваемой матрице (2'), а, значит и в ряде (2), есть бесконечное множество как положительных, так и отрицательных элементов.

Кроме матрицы (2'), составим ещё матрицу из абсолютных величин элементов

и из этой матрицы составим двойной ряд

(10)

Подобно соответствующей теореме о простых рядах, для двойных рядов имеет место теорема.

Теорема 8. Если сходится ряд (10), составленный из абсолютных величин ряда (2), то и ряд (2) сходится.

Доказательство. Представим в виде:

, (11)

где , .

Очевидно, что и . Т.к. и , то из сходимости двойного ряда (10), по теореме 5 (теореме сравнения) вытекает сходимость двойных рядов

, (12)

Но тогда сходится и ряд

и имеет сумму .

Определение. Если одновременно с рядом (2) сходится и ряд (10), то ряд (2) называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (2) сходится, а ряд (10) расходится, то ряд (2) называется неабсолютно сходящимся (или условно сходящимся).

На абсолютно сходящиеся ряды распространяются основные свойства положительных рядов.

Теорема 9. Если ряд (2) сходится абсолютно, то ряды по строкам (и по столбцам)

так же сходятся абсолютно. Кроме того, сходится абсолютно и ряд, составленный из их сумм, и имеет ту же сумму, что и двойной ряд.

Доказательство. По теореме 6, из сходимости ряда (10) вытекает сходимость рядов по строкам

и их сумм

,

а так же сходимость ряда

.

Таким образом, доказана абсолютная сходимость рядов по строкам и повторного ряда по строкам. Равенство сумм двойного ряда и повторного ряда по строкам сразу следует из теоремы 1.

Теорема 10. Пусть даны двойной ряд (2) и простой ряд (7), состоящие из одних и тех же членов. Тогда абсолютная сходимость одного из них влечёт за собой абсолютную же сходимость другого и равенство их сумм.

Доказательство. По теореме 7, сходимость одного из рядов

,

влечёт за собой сходимость другого. Раз ряд (7) сходится абсолютно, то можно его члены расположить в любом порядке, удобном для вычисления его суммы, например, по квадратам, так, чтобы получилась исходная матрица :

,

где - переставленные члены ряда (7).

Тогда

, ч.т.д.

Следствие. Абсолютно сходящийся двойной ряд обладает переместительным свойством.

Доказательство В силу предыдущей теоремы, это прямо вытекает из аналогичного свойства простого ряда.

В заключение докажем две теоремы о повторных рядах.

Теорема 11. Пусть дан повторный ряд

. (13)

Если при замене его членов абсолютными величинами получается сходящийся ряд, то сходится не только повторный ряд (13), но и ряд

, (14)

к той же сумме, что и ряд (13).

Доказательство: Утверждение теоремы 11 следует из теоремы 9, если учесть, что, по теореме 6, сходимость повторного ряда

равносильна сходимости двойного ряда

Теорема 12. Если простой ряд (7) сходится абсолютно, то, произвольно расположив его в виде матрицы c двумя входами, можно заменить ряд (7) повторным рядом (13) или (14).

Доказательство: немедленно следует из теорем 9 и 10: по теореме 10, из абсолютной сходимости ряда (7) следует абсолютная сходимость повторного ряда (2) и равенство их сумм, а, по теореме 9, сходятся оба повторных ряда (13) и (14) и имеет ту же сумму.