- •Двойные числовые ряды
- •§ 1. Кратные ряды.
- •§ 2. Сходимость двойных рядов.
- •§ 3. Положительные ряды.
- •§ 4. Абсолютно сходящиеся ряды.
- •§5. Примеры.
- •§6. Двойные степенные ряды.
- •§7. Область сходимости двойного степенного ряда.
- •§8. Поведение двойных степенных рядов на границе области сходимости.
- •§8.1. Вторая теорема Абеля для ограниченно сходящихся рядов.
- •§9. Обращение теоремы Абеля.
- •§10. Кратные функциональные ряды.
§ 3. Положительные ряды.
Остановимся на случае положительного ряда (2), т.е. ряда, все члены которого неотрицательны: .
Теорема 4. Для сходимости положительного ряда (2) необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограниченны в совокупности.
Доказательство. 1) Необходимость этого утверждения почти очевидна: если ряд (2) сходится, то для любого найдётся натуральный номер такой, что
,
так что для
.
Для конечного числа пар , у которых и частные суммы ограниченны некоторым числом : .
Наконец, если , а или , а , то или . В итоге, полагая , будем иметь для всех
.
2) Достаточность. Пусть . Рассмотрим и покажем, что будет суммой нашего ряда. Зададим любое . По определению точной верхней грани, можно найти частную сумму такую, что
.
Если взять , то и подавно , т.к. возрастает по каждой переменной и . Поскольку частная сумма не превосходит , то для и, следовательно,
.
А это и означает, что
,
т.е. ряд (2) сходится и его сумма равна .
На основе теоремы 4 можно доказать теорему сравнения, аналогичную теореме сравнения для обычных положительных рядов.
Теорема 5. Пусть даны два положительных ряда
(А)
(В)
Если для всех пар , у которых либо , либо ( - некоторое натуральное число) выполняется неравенство , то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).
Доказательство. Поскольку отбрасывание конечного числа начальных членов ряда с номерами и не отражается на его поведении, мы можем считать, не нарушая общности, что . Обозначая частные суммы рядов (А) и (В), соответственно, через и , будем иметь
.
Пусть ряд (В) сходится. Тогда, по теореме 4,
.
Тогда и подавно и, по той же теореме 4, ряд (А) сходится.
Обратно: если ряд (А) расходится, то расходится и ряд (В), т.к. в противном случае сходился бы ряд (А), что противоречит условию.
Теорема 6. Если из трёх рядов
, ,
один сходится, то сходятся остальные и имеют ту же сумму.
Теорема 6 усиливает теорему 1.
Доказательство. Пусть сходится двойной ряд
.
Тогда, очевидно, для его частных сумм будет справедливо неравенство:
. (6)
Далее, для любого
. (6')
Это показывает, что ряд сходится при любом . Если - его сумма, то .
Переходя в неравенстве (6) к пределу при , получим
.
Видим, что эти суммы ограничены. Следовательно, ряд, составленный из сходится и .
Мы доказали, что если сходится двойной ряд, то сходится и повторный, причём его сумма .
Теперь предположим, что сходится ряд . Докажем, что тогда сходится и двойной ряд. Очевидно,
,
так что частные суммы ограничены. Поэтому на основании теоремы 4 утверждаем, что двойной ряд сходится и имеет сумму . Таким образом, сходимость одного из рядов влечёт сходимость другого и равенство их сумм: .
Теорема 7 (о связи двойного ряда и простого ряда, составленного из тех же членов).
Пусть двойной ряд с положительными членами
и простой ряд
(7)
состоят из одних и тех же членов. Тогда из сходимости одного ряда вытекает сходимость другого и равенство их сумм.
Доказательство. Предположим сначала, что двойной ряд сходится и имеет конечную сумму :
.
Возьмём произвольное натуральное число и составим частную сумму ряда (7):
.
Выберем теперь и так, чтобы сумма уже содержала в себе все элементы .
Тогда
.
Значит, все частные суммы ограничены. Поэтому ряд (7) сходится и имеет сумму
(8)
Предположим теперь, что сходится ряд (7). Возьмём произвольную частную сумму двойного ряда и найдём такое натуральное , чтобы все элементы частной суммы содержались среди первых элементов ряда (7). Тогда справедливо неравенство
.
Отсюда следует, что двойной ряд сходится и имеет сумму
(9)
Сопоставляя (8) и (9), имеем .