2.3. Исследование переходных процессов в электрических цепях

Дано: L=1.5Гн, R=20 Ом, U=40 B

Найти: i=f(t), t, e_L=f(t), W_э

1.Устанавливаем переключатель в положение 1 (под включение катушки к источнику постоянного напряжения).

До замыкания переключателя в положение 1 ток в цепи был равен нулю. В первый момент после замыкания переключателя в положение 1, то есть в момент начала переходного процесса(t=0), ток в цепи будет таким же, как и в последний момент до начала коммутации, т.е. i₀=0.

После коммутации ток стремится достигнуть величины установившегося тока(i_уст), но на основании первого закона коммутации изменяется не скачком, а постепенно.

Согласно схеме

I_уст=U/R=40/20=2 A,

Чтобы найти закон изменения переходного тока, запишем уравнение в общем виде:

i =i_уст+i_св=i_уст+Ae^-t/τ

В этой формуле:

I_св=Ae^-t/τ, где I_{св_}- свободная составляющая тока;

А- постоянная интегрирования;

e-2,71- основание натурального логарифма;

τ- постоянная времени переходного процесса,

τ=L/R, где R-величина сопротивления, через которое проходит переходный ток; t-текущее время

Определяем постоянную интегрирования, полагая t=0, тогда уравнение

i =i_уст+i_св=i_уст+Ae^-t/τ примет вид:

i₀=i_уст+A, т.к. e⁰=1,

Значит, А=i₀-i_уст=0-I,

То есть А=-I

Запишем уравнение( закон изменения переходного тока) при включении катушки:

i =i_уст+i_св= i_уст+Ae^-t/τ =I-Ie^-t/τ =I*(1-e^-t/τ);

В нашем случае i =2*(1-e^-t/τ);

Находим постоянную времени переходного процесса:

τ=L/R=1.5/20=0,075с.

Практическая длительность переходного процесса:

t=5 τ=5*0,075=0,375с.

Строим график переходного тока i = f(t), задавшись моментом времени:

t=0, t=τ, t=2τ, t=3τ, t=4τ, t=5τ.

Значения переходного тока для заданных значений времени:

t= 0, i₀= 0 В

t= τ, i₁= 2*(1 -0,367)= 1,266 А

t= 2τ, i₂= 2*(1 -0,135)= 1,73 А

t= 3τ, i₃= 2*(1 -0,049)= 1,902 А

t= 4τ, i₄= 2*(1 -0,018)= 1,964 А

t= 5τ, i₅= 2*(1 -0,007)= 1,986 А

Вычисляем значения преходного тока для значений времени t= 0, τ, 2τ, 3τ, 4τ, 5τ.

i= (U/R) e^-t/τ= (40/2·10⁶)e^-t/τ=0,2·10^-4e^-t/τ

t= 0, e₀= -40·e⁰= -100 А

t= τ, e₁= -100e^-1= -100*0,367= -14.68 В

t= 2τ, e₂= -40e^-2= -100*0,135= -5.4 В

t= 3τ, e₃= -40e^-3= -100*0,049= -1.96 В

t= 4τ, e₄= -40e^-4= -100*0,018= -0.72 В

t= 5τ, e₅= -40e^-5= -100*0,007= -0,28 В

Рассчитаем запасенную энергию в электрическом поле заряженного конденсатора, например при t= 3τ:

Wэ= (L·j²₃)/2= 1,5*1,902²/2= 2,713

Список литературы

1 Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей – М:Радио и связь.1986

2 Битус А.К. Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 1- Мн.Высшая школа,1980

3Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей –М.: Радио и связь,1986

4.Татур Т.А. Установившиеся и переходные процессы в электрических цепях М,2001

5 Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. –М6Радио и связь

1971год.