14. Бесконечно малые функции и его свойства

1⁰. Б.м.ф. при x→ x₀ ,E

Определение1.

Функция f(x) называется б.м.ф. при x→ x₀ ,E если lim f(x) = 0

_{x→ x0 ,E}

П-р. y = 1/x² - не явл б.м.ф. Б.м. является при х→

Такуим образом

Определение 2.

Функция f(x) называется б.м.ф. при x→ x₀ ,E , если > 0 U(x₀) : x (x₀) E |f(x)| <

15. Критерий существования конечного предела на языке б.М.Ф. Бесконечно большие функции и их свойства.

Теорема (критерий существования конечного предела на языке б.м.ф).

Для того, чтобы lim f(x) =: p R (конечный предел) необходимо и достаточно, чтобы

x→ x₀ ,E

f(x) была представима в виде f(x) = p+ (x), где (x) – б.м.ф. при x→ x₀ ,E

Доказательство.

lim f(x) = p при x→ x₀ ,E > 0 U(x₀);x (x₀) E <

f(x) – p = (x) : f(x) = p+ (x)

2⁰. Свойства б.м.ф. при x→ x₀ ,E

Свойство 1.

Сумма конечного числа б.м.ф-ий при x→ x₀ ,E снова есть б.м.ф. при x→ x₀ ,E

Доказательство.

Пусть f(x) и g(x) – б.м.ф. при x→ x₀ ,E

f(x) – б.м.ф. x→ x₀ >0 : x (x₀) |f(x)| <

g(x) – б.м.ф. x→ x₀ >0 U (x₀) : x (x₀) |g(x)| <

Тогда для x (x₀) (x₀) |f(x)+g(x)| |f(x)|+ |g(x)| <

Так как (x₀) (x₀) = U (x₀) и |f(x)|< и |g(x)| <

Свойство 2.

Произведение б.м.ф. при x→ x₀ ,E (f(x)) на g(x) – ограниченную при x→ x₀ снова есть б.м.ф.

Пример: lim x*sin1\x=0 при lim стремится х→0, где и sin1\x – явл ограниченной функцией

Lim arctgx\x = 0 при x→+∞, где arctgx= π\2

Следствие 1.

Произведение б.м.ф. при x→ x₀ ,E на const снова есть б.м.ф.

Следствие 2.

Произведение конечного числа б.м.ф. при x→ x₀ ,E есть б.м.ф.

Доказательство.

f, g – б.м.ф. Т.к. f – б.м.ф. lim f(x)=0 f(x) – ограниченна при x→ x₀ ,E

x→ x₀ ,E x→ x₀ ,E

3⁰. Б.б.ф. при x→ x₀ ,E

Определение.

f(x) называется б.б.ф. при x→ x₀ ,E если lim |f(x)|= +

_{x→ x0 ,E}

Свойство 1.

Сумма б.б.ф. при x→ x₀ ,E и ограниченной является б.б.ф.

Свойство 2. (связь между б.б.ф и б.м.ф.)

1. Если f(x) 0 – б.б.ф., x→ x₀ ,E , то h(x) = - б.м.ф. при x→ x₀ ,E

16. Пределы результатов арифметических действий.

Теорема.

Пусть конечный lim f(x) =: p и lim g(x) =: q , тогда :

x→ x₀ ,E x→ x₀ ,E

1) lim (f(x)+g(x)) = p+q

x→ x₀ ,E

2) lim (f(x)*g(x)) = p*q

x→ x₀ ,E

3) q 0, lim

x→ x₀ ,E

Доказательство (1).

По критерию существования конечного предела следует что f(x) = p+ (x)

где (x) – б.м.ф. при x→ x₀ ,E

g(x) = q + (x), где (x) - б.м.ф. при x→ x₀ ,E

h(x) = f(x) + g(x) = p + q + (x) + (x), где ( (x) + (x)) – б.м.ф. при x→ x₀ ,E

Следствие.

lim f(x) =: p то C R lim C*f(x) = C*lim f(x)

x→ x₀ ,E x→ x₀ ,E x→ x₀ ,E

17Теорема (принцип 2-х милиционеров)

Если

1. f(x) h(x) g(x) , E

2. lim f(x) < lim g(x) , они равны p

x→ x₀ ,E x→ x₀ ,E

тогда lim f(x)

x→ x₀ ,E

Доказательство.

U (p) Согласно условию 2₁

U (x₀) : x U (x₀) E f(x) U (p)

и из условия 2₂ U (x₀) : x E U (x₀) g(x) U (p) Тогда x U (x₀) U (x₀) E f(x) , g(x) U (p)

f(x) h(x) g(x) h(x) U (p)

Следствие.

Если lim f(x) =: p то lim |f(x)| =: |p|

x→ x₀ ,E x→ x₀ ,E

Докажем 1 замечательный предел.

lim R\{0}

x→ 0 (0; )

Из рис. видно, что S _OAC < S_секOAC < S _OSB

S _OAC =

S_секOAC =

S _OSB =

< <

sin < < tg

1 <

при → 0

cos → 1

Следовательно