5.Функции. Понятие функции

Определение:

Если каждому элементу х из множества Х по определенному закону (правилу) сопоставляется один или более , то говорят, что на множестве Х задана функция со значениями Y и обозначают

Множество эл-в х, для к-х определены значения ф-и составляют область определения ф-и

Элементы сопоставляемые называются значениями функции в точке

Мн-во значений ф-ций обоз-ся E(f)

Важным частным ф-ции случаем яв-тся послед-ть, где в роли аргумента, выступает n номер члена послед-ти(nϵN), x(n),X_n. X_n=n/(n+1)

Г рафик функции

Декартово произведение

Определение:

Пусть - произвольные множества. Множество упорядоченных пар называется декартовым (прямым) произведением множеств и

Обозначение -

Пример:

Определение:

Графиком функции называется множество

Пример:

1)

2.

График изобразить невозможно, потому что вблизи любой точки находится бесконечно много как рациональных, так и иррациональных чисел. При попытке нарисовать график, получаем две прямые и

Обратная функция. Композиция функции

Определение:

Функция называется обратной к , если и каждому элементу она сопоставляет такое, что . Итак по определению имеем, что

Если график обратной функции рассматривать в том же множестве , то и поменяются ролями.

Обратимость функции

Определение:

Функция называется обратимой, если обратная функция однозначна.

Композиция функции

, , тогда можно образовать нов.ф-ция, которая каждому х сопоставляет у по правилу ф-ций, а каждому у сопост-х х по пр.Диреклея полученную такую функцию называют композицией функции и обозначают или

Пример:

6 Основные элементарные функции

Постоянная:

Степенная:

а)

б)

в)

г)

д) при

Показательная:

Логарифмическая:

Тригонометрические,

Обратные тригонометрические функции.

Классификация функций

Элементарные функции – это функции получающиеся из основных элементарных, с помощью конечного числа последовательно выполненных арифметических операций и композиций

В классе элементарных функций выделяют:

а) Многочлен или целая рациональная функция. При её образовании используются

действия: «+», «-», « »

б) Рациональные или дробно-рациональные функции. «+», «-», « », «:»

алгебраические ф-ции-это ф-ции которые получаются лишь исп-ем ариф-х чисел и извлечением корня.Все остальные функции не являющиеся алгебраическими являются трансцендентными.

7. Окрестности. Свойства окрестностей.

Эпселон окрестности (ξ) точки х₀Є R называется интервал (х₀- ξ, х₀+ ξ) =: U_ξ(х₀)

ξ>0

Окрестностью точки х0 наз-ся любое множество содержащее некоторою ξ – окрестность этой точки.

Эпселон окрестности точки х₀= +∞ (-∞) наз-ся интервал вида (ξ, +∞) до (-∞,ξ)

Свойства окрестностей

1. любая точка точки U(х₀) содержит эту точку: U(х₀) əU_ξ(х₀)

2. Пересечение 2-х окрестностей точки, снова явл окрестностью этой точки

Рассмотрим: любую х₀Є R и рассмотрим две окрестности этой точки U¹(х₀) и U²(х₀)

По опред окрестности существует: U_ξ1(х₀)с U¹(х₀) и U_ξ2(х₀)с U²(х₀).

Примечание U_ξ1(х₀)Ω U_ξ2(х₀)=: U_ξ(х₀), ξ= { ξ₁,ξ₂}содержит х_0.

3. свойство отделимости. Если х₁ и х₂ Є R, и различны, то существует окрестность:

U(х₁)и U(х₂): U(х₁) Ω U(х₂) =¢

Док-во: два различных х₁ и х₂ конечных числа, то существует такая α, что х₁ < < х₂.

Тогда U(х₁) возьмем множество сожед-ий эту точку с правым концом α.

U(х₂) с левым концом α.