10. Предел функции. Связь между пределами функции на множестве и на его частях.

Свойство 4.

Пусть lim f(x) = p, E₁ E ;

x→ x₀ ,E

x₀ E тогда lim f(x) = p

x→ x₀ ,E₁

Доказательство следует из предыдущего свойства.

Свойство 5.

Пусть U (x₀) – фиксированная окрестность, а f : E→R, тогда из lim f(x) = p

x→ x₀ ,E U'(x₀)

следует, что lim f(x) = p

x→ x₀ ,E

Доказательство:

U(p) U²(x₀) : x E f(x) U(p)

x U(x₀) E

Свойство 6.

Пусть E = E₁ U E₂, x₀ E E

Тогда lim f(x) lim f(x) и lim f(x) и равенству между собой всех трёх

x→ x₀ ,E x→ x₀ ,E₁ x→ x₀ ,E₂

пределов.

11.Ограниченная функция.

Определение 1.

f : E→R. Функция f называется ограниченной сверху (снизу, просто ограниченной), если множество её значений ограничено сверху (снизу, просто).

Например: y = (0;+ ) – ограниченно снизу

[1; + ) – просто ограниченно

Определение 2.

Функция называется ограниченной сверху (снизу, вообще на E) при x→ x₀ , если U(x₀) : в котором функция ограниченна сверху (снизу, просто) на E U(x₀).

Свойство 4.

Если существует конечный предел lim f(x) =: p,

x→ x₀ ,E

то функция f ограниченна при x→ x₀ на множестве E.

Доказательство.

Если lim f(x) =:p U (p) U(x₀) : x (x₀) E → f(x) U (p)

x→ x₀ ,E

f(x) U (p) |f(x) – p|< p - < f(x) < p + , а это значит, что значение функции ограниченно.

12. Предел последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.

Определение. Число p называется пределом x_n при n→ + , если U (p) Ń( )>0 такой что n > Ń x_n U (p)

Определение №2 р=lim x_n  >0; N( )>0;

n>N => |x_n-p|<

Например: x_n = → 0 при n→ +

lim  >0 U( )>0;

_{n→ +}

n > | - 0| < N ( ) - ?

< , n > =

Допустим, если =0,01 то N ( )= 100

Определение.

Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел.

Свойство 8.

Всякая сходящаяся последовательность ограниченна.

Доказательство.

Пусть x_n – сходящаяся последовательность , то есть существует lim x_n =:p R (явл. конечной) _{n→ +}

>0 N>0 n>N => |x_n-p|<  p- (возьмем как А)<x_n<p+ (как В)

Таким образом начиная с некоторого номера N имеем n > Ń a x_n b

Обозначим через : A = min{x₁ ,x₂ ,…x_n, a} и B = max{b, x₁ ,x₂ ,…x_n} отсюда следует, что n N A x_n B

13. Связь между пределом функции и пределом последовательности. Доказательство отсутствия предела.

Теорема (связь между пределом функции и пределом последовательности).

Пусть f : E→R, x₀ E . Для того, чтобы lim f(x) =:p , необходимо и достаточно, чтобы

x→ x₀ ,E

x_n→ x₀ при любом выборе y_n f(x_n) существует предел y_n = p

n→ n→+

Следствие (определение предела на языке последовательности).

p R называется lim f(x) , если для x_n→ x₀ при любом выборе y_n f(x_n)

x→ x₀ ,E n→

lim y_n = p

n→

Свойство 9. Доказательство отсутствия предела.

Пусть:

1) f : E R→R, g : G f(E\{x₀})→R( исключая x₀)

2) lim f(x) =:y₀ и lim (y) =:p

x→ x₀ ,E y→ y₀ ,G

3) Если y₀ f(E\{ x₀}), то g(y₀) = p

Тогда lim g(f(x)) = lim g(y) = p (№1)

x→ x₀ ,E y→ lim f(x)=:y

x→ x₀ ,E

Рассмотрим пример, показывающий что при несоблюдении условия 3 применения формулы №1 может привести к ошибке

f(x)=y₀ ; g(y)=

limg(f(x))= \\g(y₀)=0\\ =0

x→ x₀

Вычислим формально по формуле (1)

(1) lim g(f(x)) = lim g(y) = y₀ = 1

x→ x₀ ,E y→ lim f(x)

x→ x₀ ,E

Ошибка заключается в том, что не выполнено условие 3 и т.к. y₀ является значением функции при x R, между тем g(y₀)=0 и не равно 1.

Следствие 1.

Пусть lim f(x) =:p , то для последовательности x_n (x_n x₀, x_n E) : lim x_n= x₀ (x_n→ x₀)

x→ x₀ ,E n→

lim f(x_n) = p

n→

Следствие 2.

lim f(x) =:p , то для x_n→ x₀ при любом выборе значений функции y_n f(x_n)

x→ x₀ ,E n→

lim y_n = p

n→

Следствия 1 и 2 часто используют для доказательства отсутствия пределов.

Пример:

Доказательство.

Рассмотрим функцию y=sin

Рассмотрим lim sin - ?

x→0

1. x_n = → 0 при n→

lim sin = lim sin( +2 n) = 1

n→ n→

2) x = → 0 , lim sin( ) = lim sin( n) = 0

n→+ n→+ n→+

Так как 1 0 по следствиям 1 и 2 получается что lim sin не существует.

Вывод: Для разных последовательностей x_n→0 получаем разные значения lim sin(), что говорит о том, что общего предела sin не существует.