- •Тепломассообмен м инск, бгпа 2001 о главление
- •3 Теплопроводность через плоскую стенку
- •3.5 Теплопроводность через плоскую стенку
- •7 Теплопроводность и теплопередача через
- •8 Теплопроводность при наличии внутренних
- •10 Приближённые методы решения задач
- •13 Подобие и моделирование процессов
- •Введение. Основные положения теории теплообмена
- •1. Теплопроводность при стационарном режиме
- •1.1 Температурное поле
- •1.2 Температурный градиент
- •1.3 Тепловой поток. Закон теплопроводности Фурье
- •1.4 Коэффициент теплопроводности
- •2 Дифференциальное уравнение теплопроводности
- •2.1 Дифференциальное уравнение теплопроводности
- •2.2 Условия однозначности
- •2.3 Связь между правой декартовой, прямоугольной,
- •3.1 Теплопроводность через однослойную
- •3.2 Теплопроводность через плоскую многослойную стенку
- •3.3 Теплопередача через плоскую однослойную стенку при граничных условиях III-рода
- •3.4 Теплопередача через многослойную плоскую стенку при граничных условиях III-рода
- •3.5 Теплопроводность через плоскую стенку при граничных условиях II, III-рода
- •Введём новую переменную
- •Решая уравнение (а) относительно и , получаем
- •4.2 Теплопередача через однослойную и многослойную цилиндрические стенки при граничных условиях III-рода
- •4.3 Критический диаметр изоляции
- •5.2 Теплопередача через одно- и многослойную шаровые стенки (гу III-рода)
- •6 Обобщённый метод решения задач стационарной теплопроводности
- •6.1 Обобщённый метод
- •6.2 Интенсификация процесса теплопередачи
- •Коэффициент теплопередачи для цилиндрической стенки
- •7 Теплопроводность и теплопередача через ребристую поверхность
- •7.1 Теплопроводность в ребре постоянного поперечного сечения
- •7.2 Теплоотдача через ребристую плоскую стенку
- •Для температуры в конце ребра:
- •Поправочный коэффициент определяется из графика:
- •8 Теплопроводность при наличии
- •8.1 Теплопроводность однородной пластины
- •Температура на оси симметрии пластины ( ):
- •8.2 Теплопроводность однородного цилиндрического стержня
- •Плотность теплового потока на поверхности цилиндра
- •8.3 Теплопроводность цилиндрической стенки
- •1. Теплота отводится только через наружную поверхность трубы.
- •9 Нестационарная теплопроводность
- •9.1 Общее решение уравнения одномерной теплопроводности
- •9.2 Охлаждение и нагревание неограниченной пластины
- •Для решения этого уравнения необходимо иметь краевые условия. Начальные условия.
- •В соответствии с (9.2) общее решение (9.4) будет иметь вид: . (9.5)
- •Решение (9.9) можно представить в обобщённых переменных:
- •9.3 Частные случаи охлаждения (нагрева) неограниченной пластины
- •9.4 Зависимость процесса охлаждения (нагрева) от формы и размера тела
- •Т.Е. Можно представить:
- •9.5 Регулярный режим нагревания (охлаждения) тел
- •10 ПриближЁнные методы решения задач теплопроводности. Методы аналогии
- •Метод аналогии:
- •11 Конвективный теплообмен
- •11.1 Основные положения
- •Кинематический коэффициент вязкости
- •11.2 Уравнение сплошности (или неразрывности) потока
- •11.3 Уравнение движения (уравнение Навье-Стокса)
- •11.4 Дифференциальное уравнение энергии
- •11.5 Условия однозначности (краевые условия). Уравнение теплообмена
- •12 Теория пограничного слоя
- •12.1 Основные положения. Ламинарный пограничный слой
- •12.2 Турбулентный перенос теплоты и количества движения в пограничном слое
- •12.3 Коэффициенты сопротивления и трения при движении жидкости в трубах
- •13 Подобие и моделирование процессов конвективного теплообмена
- •13.1 Основы теории подобия
- •13.2 Гидромеханическое подобие
- •13.3 Тепловое подобие
- •13.4 Метод размерностей
- •Избыточная температура
- •13.5 Определение коэффициента теплоотдачи и температурного напора
- •13.6 Получение эмпирических формул или критериальных зависимостей
- •14 Гидродинамика и теплообмен при вынужденном движении жидкости в трубах
- •То режим течения будет переходным.
- •14.1 Теплообмен при ламинарном режиме течения
- •Вязкостный режим
- •Вязкостно-гравитационный режим.
- •Переходный режим.
- •14.3 Теплообмен в каналах произвольной формы
- •Теплоотдача в изогнутых трубах (спиральных теплообменниках)
- •15 Теплоотдача при поперечном обтекании труб
- •15.1 Гидродинамика и теплообмен при поперечном
- •Омывании одиночной круглой трубы
- •15.2 Теплоотдача при поперечном омывании пучков труб
- •16 Теплоотдача при свободном движении жидкости
- •16.1 Теплоотдача при свободной конвекции в неограниченном пространстве
- •16.2 Теплоотдача при свободной конвекции в ограниченном пространстве
- •Ориентировочные значения коэффициентов теплоотдачи для различных видов теплообменов
- •Средние значения коэффициентов теплоотдачи
- •Ориентировочные значения коэффициентов
- •Теплоотдача жидких металлов
- •1. Теплообмен при конденсации чистого пара
- •1.1 Основные положения
- •1.2 Термическое сопротивление при конденсации
- •1.3 Теплообмен при конденсации чистого пара при вертикальной поверхности и при ламинарном режиме течения плёнки конденсата.
- •1.4 Теплообмен при плёночной конденсации неподвижного чистого пара на вертикальной поверхности и при ламинарном режиме течения плёнки конденсата
- •Среднее значение коэффициента теплоотдачи определяется как .
- •2. Теплообмен при кипении однокомпонентной жидкости
- •2.1 Механизм процесса кипения
- •2.2 … Теплообмена при пузырьковом кипении в большом объёме
- •3. Конвективный теплообмен
- •3.1 Основные положения кмо. Закон Фика
- •4. Теплообмен излучения
- •4.1 Основные положения
10 ПриближЁнные методы решения задач теплопроводности. Методы аналогии
Решение дифференциального уравнения теплопроводности для наиболее простейшего случая одномерной задачи для пластины (9.9). На практике встречается многомерная задача теплопроводности для тел сложной формы, и получить аналитическое решение для таких сложных тел невозможно.
Когда задачу нельзя решить аналитически применяют численные или графические методы и методы аналогии, которые дают приближённое решение.
При аналитическом решении дифференциального уравнения теплопроводности можно определить температуру в любой точке исследуемого пространства. При численном методе вместо дифференциального уравнения используются алгебраические уравнения, по которым можно определить температуру только в отдельных узловых точках пространства. Следующие численные методы решения задач теплопроводности:
Метод конечных разностей (метод сеток);
метод конечных элементов;
метод прогонки;
метод переменных направлений;
метод расщепления;
метод суммарной аппроксимации и др.
В методе (1) область непрерывного изменения аргументов (x, y, z, ) заменяется сеткой, т.е. конечным множеством точек, которые называются узлами сетки. Разности значений одних и тех же элементов для двух смежных узлов (x, y, z, ) называют шагами сетки. Важнейшее свойство разностных схем – это аппроксимируемость, устойчивость и сходимость.
Аппроксимируемость схемы означает, что при стремлении к нулю шагов аргументов решение системы алгебраических уравнений стремится к решению исходного дифференциального уравнения.
Устойчивой называют такую схему, для которой неизбежной ошибки округления при уменьшении шагов аргумента не приводит к большим искажениям решения.
Сходимость означает, что при сгущении сетки решение системы алгебраических уравнений сводится к решению дифференциального уравнения.
Рассмотрим МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ для решения уравнения двухмерной стационарной теплопроводности. Без вывода покажем, что дифференциальное уравнение двухмерной теплопроводности сводится к алгебраическому уравнению вида:
. (10.1)
Координаты точки 0 – х, у; температура в точке 0 – Т0, а температуры в узлах сетки Т1, Т2, Т3, Т4.
. (10.2)
Из (10.2) следует, что температура в любом узле есть среднее арифметическое температур в соседних четырёх узлах сетки.
Для трёхмерного температурного поля алгебраическое уравнение имеет вид: . (10.3)
.
Метод аналогии:
В тех случаях, когда аналитическое решение задачи теплопроводности невозможно, а численное громоздко, можно применить метод аналогии. Метод аналогии позволяет установить метод распределения температуры в исследуемом объекте по распределению другой легко измеряемой величины в модели объекта. Тогда математическое описание распределения температур и другой величины будут аналогичны.
Гидродинамическая аналогия. Рассмотрим возможность моделирования процесса двухмерной стационарной теплопроводности безвихревым потоком идеальной жидкости. Для идеальной жидкости известно следующее уравнение для функции тока
. (10.4)
Линии, для которых , называются линиями тока жидкости. Визуальная картина линий тока показана на рисунке (10.2).
Линии тока можно сделать видимыми, вводя кристаллы перманганата калия, который, перемещаясь в растворе, оставляет следы по линиям тока.
Потенциал скоростей тока перпендикулярен линиям тока. Поэтому линии теплового потока и температурного потенциала при двухмерной стационарной теплопроводности аналогичны соответственно линиям тока и потенциала скоростей идеальной жидкости, следовательно, можно экспериментально по линиям тока построить линии теплового потока и построить изотермы, так как они перпендикулярны между собой.
Электрическая аналогия:
При разработке электрических моделей, эмитирующих процесс теплопроводности, применительны два способа:
Электрические модели повторяют геометрию оригинальных тепловых систем и изготавливаются из материала с непрерывной проводимостью. Согласно электрической аналогии напряжение в любой точке электрической модели соответствует температуре в той же точке теплового объекта.
Изготавливают модели с сосредоточенными параметрами процесса. В них тепловая система заменяется моделирующими электрическими цепями. Термическое сопротивление заменяется электрическим сопротивлением, а теплоёмкость электрическим конденсатором (ёмкостью).
Рассмотрим рисунок (10.3).
Одна сторона стены теплоизолированна, с другой стороны – коэффициент теплоотдачи . Каждый слой стены можно разбить на два слоя. Тогда внутренне термическое сопротивление может быть представлено в виде четырёх термических сопротивлений.
; ; ; .
– моделируется внешним электрическим сопротивлением R .
Последующее состояние моделируется путём приложения к зажимам контура «+», «–», и для произвольных моментов времени они будут соответствовать значениям температур в том же масштабе в сходственных точках схемы. Измерив напряжение с помощью вольтметра в любой точке схемы, можно определить значение температуры в любой точке объекта в масштабе.