16.Линейные ду 2го порядка с постоянными коэффицентаки

Однородное уравнение второго порядка:a2y'' + a1y' + a0y = 0

интегрируется следующим образом:

Пусть λ1,λ2 — корни характеристического уравнения.

a2λ2 + a1λ + a0 = 0,

являющегося квадратным уравнением.

Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта :

при Δ > 0 уравнение имеет два различных вещественных корня

Общее решение имеет вид:

при Δ = 0 — два совпадающих вещественных корня

Общее решение имеет вид:

y(t) = c1eαt + c2teαt

при Δ < 0 существуют два комплексно сопряженных корня

Общее решение имеет вид:

y(t) = c1eαtcos(βt) + c2eαtsin(βt)

17.Линейное ду п-го порядка с постоянными коэффициентаки

Однородное уравнение:

интегрируется следующим образом:

Пусть — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения

кратностей , соответственно, .

Тогда функции

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида

и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.

18.Неоднородное линейное уравнение 2го порядка

Решить уравнение (*), для начальных условий y(0)=0, yI(0)=0

Решение:

Это неоднородное линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного.

1) Найду общее решение однородного уравнения.

Характеристическое уравнение: k2 + 6k +9 = 0

Имею кратный корень k1 2 = -3

В этом случае общее решение записывается в виде:

Yодн = C1ekx + C2xekx = C1e-3x + C2xe-3x или Yодн = e-3x (C1+ C2x)

2) Найду частное решение уравнения.

Так как правая часть неоднородного уравнения имеет вид , а числа α±βi не являются корнями характеристического уравнения, то частным решением будет

Для моего случая α=0, β=1, b=10, ±i не является корнем характеристического уравнения.

Частное решение

Найду первую и вторую производные по х этого равенства и подставлю их в заданное уравнение (*)

19.Метод вариации производных постоянных

Рассмотрим ЛНДУ (5.1). Его общим решением является функция (5.3), т. е.

Частное решение уравнения (5.1) можно найти, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (5.2), методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в следующем. Пусть общее решение уравнения (5.2).Заменим в общем решении постоянные c1 и с2 неизвестными функциями c1(x) и с2(х) и подберем их так, чтобы функция

была решением уравнения (5.1). Найдем производную

Подберем функции c1(x) и с2(х) так, чтобы

Тогда

Подставляя выражение для в уравнение (5.1), получим:

или

Поскольку y1(x) и у2(х) - решения уравнения (5.2), то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому

Таким образом, функция (5.6) будет частным решением у* уравнения (5.1), если функции c1(x) и с2(х) удовлетворяют системе уравнений (5.7) и (5.8):

Определитель системытак как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений у1 (х) и у2 (х) уравнения (5.2). Поэтому система (5.9) имеет единственное решение: с'1(х)= j1(x) и с'2(х)=j2(х), где j1(x) и j2(х) - некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим c1(x) и с2(х), а затем по формуле (5.6) составляем частное решение уравнения (5.1).

Пример 5.1. Найти общее решение уравнения

Решение: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения Имеем:Следовательно,

Найдем теперь частное решение у* исходногоуравнения. Оно ищется в виде (5.6): Для нахождения с1(х) и с2(х) составляем систему уравнений вида (5.9):

Решаем ее:

Запишем частное решение данного уравнения: Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной следующая теорема.

Теорема 5.2 (о наложении решений). Если правая часть уравнения (5.1) представляет собой сумму двух функций: - частные решения уравнений соответственно, то функция у*=y*1+y*2 является решением данного уравнения.

Действительно,