31.Сравнение рядов с положительными членами

О п р е д е л е н и е. Ряды с положительными членами – это ряды, члены которых не отрицательны. Например, для ряда (2) это означает

 (10)

Некоторые авторы называют ряды с положительными членами положительными рядами.

Признак Даламбера. Если для ряда

 (11)

существует предел

, (12)

то ряд (11) сходится, если D<1 и расходится, если D>1.

Признак Коши. Если для ряда

 (13)

существует предел

, (14)

то ряд (13) сходится, если c<1, и расходится, если c>1.

Интегральный признак Маклорена – Коши. Этот признак построен на идее сравнения ряда с несобственным интегралом. Представим ряд с положительными членами в виде

, (15)

где f (n) = un - значение некоторой функции f(x) при x = n, определенной в области x   1.

Если f(x) при x   1 непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд (15) сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл

,

т.е. существует конечный предел

. (16)

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами

 (17) и

 (18)

и каждый член ряда (17) не превосходит соответствующего члена ряда (18), т.е. выполняется   (n = 1, 2, 3, …). Тогда, если сходится ряд (18), то сходится и ряд (17). Если ряд (17) расходится, то ряд (18) также расходится. Этот признак остается в силе, если условие   выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого номера n = N.

Второй признак сравнения. Если существует конечный отличный от нуля предел

  ,

то оба ряда с положительными членами  и 

одновременно сходятся или одновременно расходятся.При использовании этих признаков исследуемый ряд часто сравнивается или с бесконечной геометрической прогрессией

, q > 0, (19)

которая при q < 1 сходится и имеет сумму S = a / (1-q), а при q   1 расходится, или с расходящимся гармоническим рядом

 . (20)

32.Признаки сравнения. Признак Даламбера.

(Признак Даламбера) Допустим, что строго положительный ряд (29) таков, что существует (конечный или бесконечный) предел

     (30)

Тогда при l > 1 ряд (28) расходится, а при l < 1 сходится.

     Допустим сначала, что l > 1. Так как дробь   стремится к l, то достаточно далекие значения этой дроби будут удовлетворять неравенству

     (31)

     Пусть, например, это неравенство выполнено для всех n, удовлетворяющих неравенству n > m. Тогда ряд

a_m+1 + a_m+2 + a_m+3 + ...     (32)

таков, что у него отношение уже любого последующего члена к своему предыдущему оказывается удовлетворяющим неравенству (31). Значит (по лемме 1), ряд (32) расходится, а так как это есть остаток ряда (28), то этот последний ряд также расходится.

     Пусть теперь l < 1. Закрепим какое-нибудь число q, удовлетворяющее неравенству l < q < 1 (например, положим  ). Тогда найдется такое m, что при всехn > m будет

Снова составляя ряд (32) и применяя к нему лемму 2, убеждаемся сначала в сходимости ряда (32), а затем и ряда (28).

     Доказанная теорема действительно имеет совершенно алгорифмический характер: для ее применения надо лишь составить отношение   и изучить его поведение при безгранично возрастающем n. Никаких вспомагательных рядов для сопоставления с данным рядом искать уже не требуется. Надо заметить, однако, что теорема 3 применима далеко не всегда. Не говоря уже о том, что предела (30) может не существовать, этот предел может равняться 1, и тогда теорема также не позволяет сделать никакого заключения относительно сходимости ряда.