61.Вычисление вычетов

 Вычеты и их применение 

       - вычет функции f(z) относительно изолированной особой точки z0:

(в круге   нет других особых точек).

     Если   то

     Вычисление вычетов 

     1. z0 - устранимая особая точка:

     2. z0 - полюс:

     а) z0 - простой полюс:

В частности, если   то

     б) z0 - полюс порядка m:

(формула также верна, если z0 - полюс порядка не выше m).

     3. z0 - существенно особая точка. Вычет находится по разложению в ряд Лорана.

62.Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки

  Вычет относительно бесконечно удаленной точки 

(f(z) - аналитическая в области   обход контура - по часовой стрелке).

c-1 - коэффициент при z-1 в разложении f(z) в ряд Лорана в окрестности точки  .

     Вычисление вычета в бесконечно удаленной точке 

     1.   - правильная точка:

 - нуль:

     В частности, если   при   то

     2.   - полюс порядка не выше m:

     3. Если f(z) представима в виде   где   - аналитическая в точке   то

     Если f(z) имеет конечное число особых точек zk, k = 1, 2, ..., n, в конечной части плоскости, то

63.Основная теорема о вычетах

Основная теорема о вычетах 

     Если f(z) - аналитическая на границе   области D и внутри области, за исключением конечного числа особых точек z1, z2, ..., zn, лежащих в D, то

(обход контура положительный).

     Вычисление интегралов от функций действительной переменной 

     1.   (R - рациональная функция двух переменных).

     2. Если R(x) - рациональная функция, а   сходится, то

где zk - все особые точки функции R(z), лежащие в верхней полуплоскости (Im zk > 0).

     Если   - особые точки функции R(z), лежащие в нижней полуплоскости, то

     3. Если R(x) - рациональная функция, не обращающаяся в нуль на действительной оси,   то

(zk - все особые точки, лежащие в верхней полуплоскости);

(  - все особые точки, лежащие в нижней полуплоскости).

     Замечание. 

 

64.Вычисление интегралов с помощью вычетов

Вычислить определенный интеграл с помощью вычетов   Решение Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением точки 2i. Эта точка является полюсом второго порядка. Воспользуемся формулой: Найдем вычет функции  Получаем 

65.Оригинал и изображение по Лапласу

Изображение по Лапласу оригинала в виде постоянной во времени величины

Пусть оригинал является постоянной величиной f(t) = U0 = const. Вычислим интеграл Лапласа:

.

Постоянной величине в области изображения соответствует эта же постоянная, делённая на оператор (р).

Не всегда размерность оригинала соответствует размерности изображения.

Существует такое преобразование, аналогичное преобразованию Лапласа, в котором совпадают размерности – это преобразование Карсона:

C(p) = p F(p).

Преобразование Карсона здесь рассматривать не будем.

Изображение показательной функции 

Если функция времени представляет собой показательную функцию  , то изображение можно получить с помощью интеграла Лапласа:

.

Таким образом:

.

Отсюда вытекает ряд важных следствий.

1) Положив a = jw, получим:

.

2) Функции е-?tt соответствует изображение:

3)

Если функция времени представляет собой синусоидальную величину, например,

ЭДС  ,

то E(p), при  , равно:

 .

Изображение по Лапласу комплексной величины

Пусть , тогда   при t = 0, и функция времени может быть выражена через комплекс напряжения:

.

Подвергнем вращающийся комплекс преобразованию Лапласа:

.

Изображение по Лапласу производной функции времени

Известно, что функ­ции f(t) соответствует изображение F(р). Требуется найти изображение первой производной  , если известно, что значение функции f(t) при t = 0 равно f(0).

Подвергнем функцию   преобразованию Лапласа:

Интегрирование произведем по частям. Обозначив   и  , получим:

Следовательно,

,

но

a 

Таким образом,

;

Изображение напряжения на индуктивности

Исходить будем из условия, что оригиналу тока i соответствует изображение тока I(р). Запишем оригинал напряжения на индуктив­ности:

По формуле   определим изображение производной тока:

где i(0) – значение тока i при t = 0. следовательно,

.

Если i(0) = 0, то