28 Билет

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования(оператора)

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора если ( для комплексного )такое, что

Число называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору. Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X, то или

Собственные числа линейного оператора - корни характеристического уравнения где -матрица оператора f, - символ Кронекера.

Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

Где - соответствующие собственные значения.

29 Билет

Квадратичные формы.Канонический вид.

Квадратичная форма переменных

функция

- коэффициенты квадратичной формы. Без ограничения общности считают

Тогда

Если переменные принимают действительные значения и квадратичная форма называется действительной.

Матричная запись квадратичной формы

Матрица называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если Главные миноры матрицы A называются главными минорами квадратичной формы.В пространстве квадратичную форму можно записать в виде где Х-координатный столбец вектора В пространстве квадаратичную форму можно представить в виде где f - линейный самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна A.

Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.

30 Билет

Положительно(отрицательно) определенные квадратичные формы.Критерий Сильвестра.

Квадратичная форма наз-ся положительно определенной, если значение на каждом ненулевом значении больше нуля, т.е.: , если ,

Если же на каждом , то квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Теорема (Критерий Сильвестра). Справедливы следующие утверждения:

Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы А положительны. Квадратичная форм отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы А четного порядка положительны, а главные миноры матрицы А нечетного порядка отрицательны.