20 Билет

Угол между прямыми, прямой и плоскостью.Основные задачи на прямую и плоскость.

Основные задачи на прямую и плоскость

1. В прямоуг.системе координат прямая d имеет напрявляющий вектор p(p1,p2,p3),а плоскость П имеет уравнение Ах+Ву+Сz+D=0.найти угол фи м/у прямой d и плоскостью П. sin фи= (Аp1+Bp2+Cp3)/A+В+С(в квадрате и под корнем) * p1+p2+p3(в квадрате и под корнем)

2. В прямоуг.системе координат дана П уравн-м Ах+Ву+Сz+D=0 и т.М(х0,у0,z0), не лежащая в этой П. Выч-ть расстояние р(М0,П) от т.М до плоскости П.

р(М0,П)=|Ax0+By0+Cz0+D| / A+B+C. (A,B,C в квадрате и под конем.)

3. Выч-ть расстояние р(П1,П2) м\у || плоскостями П1,П2, заданными в прямоуг.системе координат урав-ми:

П1: Ах+Ву+Сz+D1=0

П2: Ах+Ву+Сz+D2=0,где D1,D2 не равны

Р(П1,П2)= |D2-D1| / A+B+C. (A,B,C в квадрате и под корнем)

4. Даны 2 пересекающие плоскости:

П1: А1х+В1у+С1z+D1=0

П2: А2х+В2у+С2z+D2=0. Выч-ть угол м\у ними:

Cos фи = А1А2+В1В2+С1С2 / А1+В1+С1 * А2+В2+С2. (А,В,С в квадрате и под корнем)

Угол между прямыми

Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина фи острого угла между прямыми вычисляется по формуле

21 Билет

Векторные пространства.Простейшие свойства векторных пространств.

Множество L называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:

1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём:

x + y = y + x − сложение коммутативно;

x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;

x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 ( x + 0 = x для любого x из L);

x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x ( x + (−x) = 0 для любого x из L).

2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α·x, наываемый произведением α и x, причём:

α·(β·x) = (α·β)·x − умножнение на число ассоциативно: ;

1·x = x − для любого элемента x из L.

3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:

α·(x + y) = α·x + α·y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

(α + β)·x = α·x + β·x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.

22 Билет

Линейная зависимость и независимость системы векторов векторного пространства.Базис и ранг конечной системы векторов.

Определение. Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

(8.1.)

где – какие угодно действительные числа.

Определение. Векторы векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют, такие числа , не равные одновременно нулю, что: (8.2.)

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Из приведенных выше определений следует, что векторы линейно независимы, если равенство справедливо лишь при

и линейно зависимы, если это равенство выполняется, когда хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Можно показать, что если векторы линейно зависимы, то, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы. В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Определение 1. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.

Определение 2. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.