17 Билет

Кривые второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола). Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.

Опред. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой центром окружности. -это каноническое уравнение окружности.

Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

Гипербола есть геометрическое место точек, абсолютное значение разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

Парабола есть геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой (директриса не проходит через фокус).

Приведение к каноническому виду:2 случая

1. а12 не равен 0

2. а12=0

1)для первого случая:найти корни л1 и л2: л в 2 – (а11+а22)л+(а11а22-а12 в 2)=0

2)найти координаты векторов i(cos@,sin@) и j(-sin@,cos@): sin@= tg@ / 1+tg в2@(под корнем), cos@ = 1/ 1+tg в2 @, где tg@= л1-а11/а12

3)выч-ть коэф-ты а10` и а20`:а10`=а10cos@+a20sin@, a20`= -a10sin@+a20cos@

4) уравн-е линии примет вид: л1 х12+л2у12+2а10`x`+2a20`y`+a00=0

5)выделить полные квадраты и привести к виду:

А)л1(x`+x0)в2+л2(y`+y0)в2=а00`

Б) л1(x`+x0)в2+2а12y`=а00`

В)2а10`x`+л2(у`+y0)в2= а00`

Г) л1(x`+x0)в2+л2(y`+y0)в2=0

6)переносим начала координат получить каноническое уравнение линии.

7)построить систему координат 0`i`j` по координатам точки О` и векторов i`, j` и затем посторить точки линии в системе 0`i`j` по каноническому уравнению. Если а12=0 то преобразования начинаем с пункта 4.

18 Билет

Плоскость в пространстве. Уравнения плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух плоскостей.

Всякая плоскость в пространстве определяется линейным уравнением и обратно, всякое линейное уравнение (3) определяет плоскость в пространстве. Уравнение (3) называют общим уравнением плоскости

Взаимное расположение 2-х плоскостей.

Пусть даны 2 плос-ти П1 и П2

П1: А1х+В1у+С1z+D1=0

П2: A2x+B2y+C2z+D2=0

Обозначим r=rang (A1 B1 C1)

(A2B2 C2)

R=rang (A1B1 C1 D1

A2 B2 C2 D2)

1. r=1, R=1 значит А1/А2=В1/В2=С1/С2=D1|D2=лямбда,следовательно,П1=П2(плоскости совпадают)

2. r=1, R=2 значит А1/А2=В1/В2=С1/С2не равноD1/D2,следовательно П1||П2(плоскости параллельны)

r=2, R=2 значит А1/А2не равно В1/В2не равноС1/С2не равноD1/D2,следовательно П1^П2 (плоскости пересекаются)

19 Билет

Прямая в пространстве. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости.

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений. Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей- и

то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений :

(11.11)И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему. Уравнения (11.11) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

Взаимное расположение прямой и плоскости

1)прямая и плоскость пересекаются,т.е. имеют 1 общую точку.

Прямая d пересекает плоскость П значит направляющий вектор p прямой d не || П, т.е. Ар1+Вр2+Ср3 не равно 0.

2)прямая || плоскости значит вектор р || П и т.М не принадлежит П

Ар1+Вр2+Ср3=0

Ах0+Ву0+Сz0+D не равно 0

3)прямая лежит в плоскости::

Ар1+Вр2+Ср3=0

Ах0+Ву0+Сz0+D=0