15.Эргодическое свойство стационарных случайных процессов.

Эргодическое свойство заключается в том, что любая достаточно длинная реализация является уполномоченным представителем всех возможных реализаций. Если случайный процесс x(t) обладает эргодическим свойством, то для него среднее по множеству реализаций равно среднему по времени, и тогда все характеристики рассчитываются путем усреднения по времени.

Если стационарный процесс x(t) эргодичен, то -оценка мат.ожидания. А -говорят что этот процесс эргодичен по отношению x(t).

16. Алгоритм оценивания характеристик эргодических процессов.

Р-м стационарную случ. величину X(t), обладающую эргодическим свойством. Предположим, что имеется всего одна реализация этой функции на большом участке времени Т. Это будет эквивалентно мн-ву реализаций той же самой продолжительности. Характеристики могут быть определены как средние по времени t. В частности мат.ожидание может быть вычислено по формуле , аналогично может быть найдена корреляционная функция, потому что кореляц.функция по определению представляет собой мат.ожидание случайной функции , . Это мат.ожидание может быть вычислено как среднее по времени, . Вычисляя как среднее по времени кореляц.функция будет равняться На практике интегралы заменяются суммами

18. Взаимная корреляционная функция. Взаимосвязь корреляционно-спектральных характеристик.

Пусть имеется два стационарных случайных процесса x(t) и y(t) с детерминированными связями между ними, например, x(t) - случайный процесс на входе цепи, а y(t) - случайный процесс на ее выходе. Взаимная корреляционная функция в этом случае равна

                  

Если при этом процессы еще и эргодические, то можно применить усреднение по времени:

   .

Так как взаимная корреляционная функция не изменяется, если сдвиг на t одной функции заменить сдвигом в обратном направлении другой функции, то

              

следовательно, при этом каждая функция Rxy, Ryx не обязательно четная относительно t .

10.1, Прибавим к случайной функции   неслучайное слагаемое  . Получим новую случайную функцию:

.                            

По теореме сложения математических ожиданий:

,            

т. е. при прибавлении к случайной функции неслучайного слагаемого к ее математическому ожиданию прибавляется то же неслучайное слагаемое.

Определим корреляционную функцию случайной функции  :

,                  

т. е. от прибавления неслучайного слагаемого корреляционная функция случайной функции не меняется.

10,2. Умножим случайную функцию   на неслучайный множитель  :

.                               

Вынося неслучайную величину   за знак математического ожидания, имеем:

,              

т. е. при умножении случайной функции на неслучайный множитель ее математическое ожидание умножается на тот же множитель.

10,3 Частным случаем сложения случайных функций является сложение случайной функции со случайной величиной.

Рассмотрим случайную функцию   с характеристиками   и   и случайную величину   с математическим ожиданием   и дисперсией  . Предположим, что случайная функция   и случайная величина   некоррелированны, т. е. при любом 

.

Сложим случайную функцию   со случайной величиной  ; получим случайную функцию

.                               

Определим ее характеристики. Очевидно,

.

20.

21.Фундоментальный хар-ер Белого шума обуславливается тем что на основе белого шума строятся модели мирового класса случ.процессов.такая модель назыв. Формирующим фильтром.

22.

3. Интегральная функция распределения. Плотность распределения.

Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x случайной величины X вероятность того, что величина X примет значение, меньшее x, то есть F(x) = P(X < x).

Распределение вероятностей дискретной случайной величины может быть задано перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания неприменим для непрерывных случайных величин. Общим способом задания распределений любых типов случайных величин является интегральная функция распределения. Пусть x - действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина X примет значение, меньшее x, то есть вероятность события X < x обозначим через F(x). Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, то есть F(x) = P(X < x). Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x. Интегральная функция распределения имеет следующие свойства.

1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку (0,1): 0 і F(x) і 1. Следовательно, график интегральной функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми y = 0, y = 1.

2. F(x) - неубывающая функция, то есть F(x2) і F(x1), если x2 > x1. Следовательно, при возрастании x в интервале (a, b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график интегральной функции распределения поднимается вверх.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то F(x) = 0 при a і x, F(x) = 1 при x і b. То есть при a і x ординаты графика интегральной функции распределения равны нулю; при x і b ординаты графика равны единице. Для дискретной случайной величины график интегральной функции распределения имеет ступенчатый вид.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины.

Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением( может быть, конечного числа точек.

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

6.Система двух случайных величин. Корреляционный момент.

Система двух случайных величин.

Свойства функции распределения системы двух случайных величин:

1) Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то функция распределения системы стремится к функции распределения одной случайной величины, соответствующей другому аргументу.

2) Если оба аргумента стремятся к бесконечности, то функция распределения системы стремится к единице.

3) При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности функция распределения стремится к нулю.

4) Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу.

5) Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле: ???

Корреляционный момент.

Корреляционным моментом двух случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин: mxy = M{[X - M(X)]Ч[Y - M(Y)]}. Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю. Если корреляционный момент не равен нулю, то X и Y - зависимые случайные величины. Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин X и Y. Другими словами, корреляционный момент зависит от единиц измерения случайных величин. Безразмерной числовой характеристикой связи двух случайных величин является коэффициент корреляции.

9. Корреляционная функция случайных функции и ее свойства.

11. Каноническое разложение случайных функций.

14. Свойства корреляционных функций стационарных случайных процессов.

19. Тепловые модели случайных процессов. Стационарный белый шум.

Тепловые модели.

На фотогорафиях.

Стационарный белый шум.

Белый шум — стационарный шум, спектральные составляющие которого равномерно распределены по всему диапазону задействованных частот. Примерами белого шума являются шум близкого водопада[1] (отдаленный шум водопада — розовый, так как высокочастотные составляющие звука затухают в воздухе сильнее низкочастотных), или шум Шоттки на клеммах большого сопротивления. Название получил от белого света, содержащего электромагнитные волны частот всего видимого диапазона электромагнитного излучения.

В природе и технике «чисто» белый шум (то есть белый шум, имеющий одинаковую спектральную мощность на всех частотах) не встречается (ввиду того, что такой сигнал имел бы бесконечную мощность), однако под категорию белых шумов попадают любые шумы, спектральная плотность которых одинакова (или слабо отличается) в рассматриваемом диапазоне частот.

Термин «белый шум» обычно применяется к сигналу, имеющему автокорреляционную функцию, математически описываемую дельта-функцией Дирака по всем измерениям многомерного пространства, в котором этот сигнал рассматривается. Сигналы, обладающие этим свойством, могут рассматриваться как белый шум. Данное статистическое свойство является основным для сигналов такого типа.

То, что белый шум некоррелирован по времени (или по другому аргументу), не определяет его значений во временной (или любой другой рассматриваемой аргументной) области. Наборы, принимаемые сигналом, могут быть произвольными с точностью до главного статистического свойства (однако постоянная составляющая такого сигнала должна быть равна нулю). К примеру, двоичный сигнал, который может принимать только значения, равные нулю или единице, будет являться белым шумом только если последовательность нулей и единиц будет некоррелирована. Сигналы, имеющие непрерывное распределение (к примеру, нормальное распределение), также могут быть белым шумом.