8. Понятие о случайной функции и ее закон распределения.

Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее - какой именно.

Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции. Если над случайней функцией произвести группу опытов, то мы получим группу или «семейство» реализаций этой функции.

Самолет-бомбардировщик на боевом курсе имеет теоретически постоянную воздушную скорость . Фактически его скорость колеблется около этого среднего номинального значения и представляет собой случайную функцию времени. Полет на боевом курсе можно рассматривать как опыт, в котором случайная функция  принимает определенную реализацию (рис. 15.1.1).

Рис. 15.1.1.

От опыта к опыту вид реализации меняется. Если на самолете установлен самопишущий прибор, то он в каждом полете запишет новую, отличную от других реализацию случайной функции. В результате нескольких полетов можно получить семейство реализаций случайной функции  (рис. 15.1.2).

Эта случайная величина, очевидно, обладает законом распределения, который в общем случае зависит от . Обозначим его . Функция  называется одномерным законом распределения случайной функции .

Очевидно, функция  не является полной, исчерпывающей характеристикой случайной функции . Действительно, эта функция характеризует только закон распределения  для данного, хотя и произвольного ; она не отвечает на вопрос о зависимости случайных величин  при различных . С этой точки зрения более полной характеристикой случайной функции  является так называемый двумерный закон распределения:

.                      (15.2.2)

Это - закон распределения системы двух случайных величин , т. е. двух произвольных сечений случайной функции . Однако и эта характеристика в общем случае не является исчерпывающей; еще более полной характеристикой был бы трехмерный закон:

.             (15.2.3)

Очевидно, теоретически можно неограниченно увеличивать число аргументов и получать при этом все более подробную, все более исчерпывающую характеристику случайной функции, но оперировать со столь громоздкими характеристиками, зависящими от многих аргументов, крайне неудобно. Поэтому при исследовании законов распределения случайных функций обычно ограничиваются рассмотрением частных случаев, где для полной характеристики случайной функции достаточно, например, знания функции (15.2.2) (так называемые «процессы без последействия»).

17 Спектральное разложение стационарных случайных процессов.

Стационарный (в широком смысле) СП X(t) наз-ся СП с дискретным спектром, если он представим в виде: X(t)=m_x+ U_kcosω_kt+V_ksinω_kt (*)

где ω_k>0, ω_k=const, U_k и V_k – СВ, удовлетворяющие следующим условиям:

1)M[U_k]=M[V_k]=0 для любого k

2)D[U_k]=D[V_k]=D_k>0 для любого k

3)M[U_kV_k]=M[V_kU_k]=0 если i=j

4)M[U_kV_k]=0 для любого i,j

Коррел. ф-ия СП с дискретным спектром имеет вид:

K_x(τ)= D_kcosω_kτ (**) – теорема

Вывод формулы:

K_x(τ)= K_x(t₁,t₁+τ)=[воспольз. Формулой (**)] = D[U_k]cosω_kt₁cosω_k(t₁+τ)+D[V_k]sinω_kt₁sinω_k(t₁+τ)= = D_k(cosωkt1cosωk(t₁+τ)+sinω_kt₁sinω_k(t₁+τ))= D_kcosω_kτ

Найдем дисперсию

D_x=K_x(0)= D_k

Представления (*) и (**) наз. спектральными разложениями соотв. СП и его коррел. ф-ии.

Если ω_k=ω₁k=πk/T? То разложение (**) представляет собой по существу ряд Фурье по cos функции K_x(τ) на [-T,T].

D_kcos(πk/T) τ

В силу четности функции K_x(τ) этот ряд сод-т только cos.

Стационарные СП, рассм. лишь на конечном промежутке t€[0,T], всегда могут быть представлены в виде разложений (*) и (**).

МОТС Экзамен