25.1. Приближение инженерных данных.Виды приближения.

В различных областях при проведении эксперимента инженер получает таблицу данных, эти дискретные данные необходимо обработать таким образом, чтобы можно было восстановить незамеренные значения в промежуточных точках или может быть подобрать зависимость, которая приближенно воспроизводит закон, позволяя вместо дискретных данных использовать непрерывные зависимости.

Рисунок 1.

Для того, чтобы рассчитать прочность и жесткость, необходимо знать геометрические характеристики: площадь, моменты инерции .

В этом случае необходимо знать зависимости и .

В реальности можно выполнить замеры на кромках. Таким образом, получим таблицу данных:

X	X1 X2 X3 Xn
Y	Y1 Y2 Y3 … Yn

Возникает вопрос: как по этой таблице восстановить значения ?

Существуют различные способы приближения. Одним из таких методов является интерполирование. Здесь требуют, чтобы приближающая функция совпадала с приближаемыми значениями, то есть если обозначить как приближающую функцию, а приближающие значения , то получим

, .

Эти точки называются ее узлами. Чаще всего полученная таблица содержит не точные значения, а замеры, полученные с некоторой погрешностью. Поэтому требовать совпадения с табличными значениями приближенной функции неуместно. Имеет смысл использовать другие критерии близости.

Поточечное среднеквадратическое приближение.

Рисунок 1.

Иногда возникает задача о приближении не табличных данных, а функции других функций. Пусть приближаемая функция (является известной функцией), а приближающая (подбираемая функция).

Аналогом приближения, рассматриваемого на рисунке 1, в этом случае будет непрерывное приближение в среднеквадратическом смысле.

Непрерывное приближение в среднеквадратичном смысле.

Рисунок 1.

Такое приближение может использоваться в том случае, если исходная функция очень сложно или долго вычисляется, при этом ее заменяют другой функцией, которая известна.

Равномерное приближение.

Понятно, что равномерное распределение выдвигает самое жесткое требование.

1.2.Узловой метод получения математической модели системы.

При моделировании электрическим подсистем он называется методом узловых потенциалов и контурных токов; при моделировании механических упругих подсистем – методом перемещений.

В дальнейшем будем использовать терминал, характерный для электрических подсистем.

В качестве векторов базисных координат используется вектор узловых потенциалов, а в качестве топологических уравнений – уравнения 2-го закона Киргофа вида:

Покажем, как можно получить уравнение вида (13) из общих уравнений (12). Для этого в ориентированном графе объекта обычно в качестве базового узла выбирают ту вершину, к которой подключено большее число ветвей, т.е. токи в ветвях=0.

Построим в качестве примера матрицу инцидентности, изображая пунктиром и для этого же графа построим М матрицу с учётом того, что пунктирные ветви являются его деревом.

	К	Л	М	О	Н	Р
А	1
Б	-1	1
В		-1	1
Г		-1		1
Д			-1	1
Е			-1		1
Ж				-1		1
З					-1	1
И					-1

Построим матрицу инцидентности.

7-ой узел выбираем базовым и не будем его учитывать

	а	б	в	г	д	Е	ж	з	и
1	-1	1
2		-1	1	1
3			-1		1	1
4				-1	-1		1
5						-1		1	1
6							-1	-1

У фиктивных ветвей проводимость = 0,

Получим-

Можно получить связи между переменными типа разность потенциалов между не базовыми узлами с базовыми с переменными типа (падение напряжения) на реальных ветвях графа, т.к.

Если, разделить ветви орграфа хар-ру соответствующих им элементов на ёмкостные (типа С), резисторные(типа R), ветви ист. тока и т.д.

Соответственно токи в таких ветвях: а падения напряжения на них то выделив в подматрице матрицы инцидентности , можно записать топологические уравнения для каждой из типов ветвей. Такой подход иногда удобен, т.к. в дальнейшем легко использ. компоненты уравнения для разных типов ветвей, для записи окончательного вида математической модели системы.

Для задания параметров ветвей (значения C,L,R и т.д.) для всех элементов будем использовать диагональные матрицы: